2013年考研数学一第12题

首先，我们面对的是积分 $\int \frac{\ln x}{(1+x)^2} \, dx$。观察被积函数，它是对数函数 $\ln x$ 与有理函数 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 的乘积。分部积分法适用于乘积形式的积分，其公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。为了简化积分，我们通常将对数函数设为 $u$，因为它的导数 $\frac{1}{x}$ 比原函数简单；而将 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 设为 $dv$，因为它的原函数容易求得。因此，令 $u = \ln x$，$dv = \frac{1}{(1+x)^2} \, dx$。对 $u$ 求微分得 $du = \frac{1}{x} \, dx$。对 $dv$ 积分得 $v = \int \frac{1}{(1+x)^2} \, dx$。注意到 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 的原函数是 $-\frac{1}{1+x}$（因为 $\frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{1+x}\right) = \frac{1}{(1+x)^2}$），所以 $v = -\frac{1}{1+x}$。于是，根据分部积分公式，有： $$\int \frac{\ln x}{(1+x)^2} \, dx = \ln x \cdot \left(-\frac{1}{1+x}\right) - \int \left(-\frac{1}{1+x}\right) \cdot \frac{1}{x} \, dx = -\frac{\ln x}{1+x} + \int \frac{1}{x(1+x)} \, dx.$$ 这样，我们成功地将原积分转化为一个更简单的有理函数积分 $\int \frac{1}{x(1+x)} \, dx$，为下一步的求解做好了准备。

本步骤需要计算边界项 $-\left[\frac{\ln x}{1+x}\right]_{1}^{+\infty}$ 的值，即求极限 $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x}$ 与 $x=1$ 处的函数值之差。 首先计算上限 $x \to +\infty$ 时的极限： $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x}$$ 由于分子 $\ln x$ 和分母 $1+x$ 均趋于无穷大，符合 $\frac{\infty}{\infty}$ 型未定式，可使用洛必达法则。对分子和分母分别求导： 分子导数：$\frac{d}{dx}(\ln x) = \frac{1}{x}$ 分母导数：$\frac{d}{dx}(1+x) = 1$ 因此： $$\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1/x}{1} = \lim_{x \to +\infty} \frac{1}{x} = 0$$ 再计算下限 $x=1$ 处的函数值： $$\left.\frac{\ln x}{1+x}\right|_{x=1} = \frac{\ln 1}{1+1} = \frac{0}{2} = 0$$ 因此边界项为： $$-\left[\frac{\ln x}{1+x}\right]_{1}^{+\infty} = -\left( \lim_{x \to +\infty} \frac{\ln x}{1+x} - \frac{\ln 1}{1+1} \right) = -(0 - 0) = 0$$ 所以该边界项的值为 $0$。

剩余积分为 $\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx$。观察被积函数 $\frac{1}{x(1+x)}$，这是一个有理函数，分母为两个一次因式的乘积，适合使用裂项法（部分分式分解）进行化简。 设 $\frac{1}{x(1+x)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{1+x}$，其中 $A$ 和 $B$ 为待定常数。两边乘以 $x(1+x)$ 得： $$1 = A(1+x) + Bx = A + Ax + Bx = A + (A+B)x.$$ 比较等式两边系数，常数项：$A = 1$；$x$ 的系数：$A+B = 0$，代入 $A=1$ 得 $B = -1$。因此 $$\frac{1}{x(1+x)} = \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x}.$$ 于是原积分化为 $$\int_{1}^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx = \int_{1}^{+\infty} \left( \frac{1}{x} - \frac{1}{1+x} \right) dx.$$ 这样就将一个分母为二次的积分拆分为两个简单的一次分式的积分之差，便于后续分别计算。注意积分限为无穷上限，后续需用极限处理。

首先，我们已有不定积分的结果： $$ \int \frac{1}{x(1+x)} \, dx = \ln|x| - \ln|1+x| + C = \ln\left|\frac{x}{1+x}\right| + C. $$ 由于积分区间为 $[1, +\infty)$，且 $x \geq 1$ 时 $x>0$，$1+x>0$，故绝对值符号可去掉： $$ \int_1^{+\infty} \frac{1}{x(1+x)} \, dx = \lim_{b \to +\infty} \left[ \ln\left(\frac{x}{1+x}\right) \right]_{1}^{b}. $$ 代入上限 $b$ 和下限 $1$： $$ \lim_{b \to +\infty} \left( \ln\frac{b}{1+b} - \ln\frac{1}{1+1} \right) = \lim_{b \to +\infty} \ln\frac{b}{1+b} - \ln\frac{1}{2}. $$ 计算极限： $$ \lim_{b \to +\infty} \frac{b}{1+b} = \lim_{b \to +\infty} \frac{1}{\frac{1}{b}+1} = 1, $$ 所以 $\displaystyle \lim_{b \to +\infty} \ln\frac{b}{1+b} = \ln 1 = 0$。 因此原积分值为： $$ 0 - \ln\frac{1}{2} = -\ln\frac{1}{2} = \ln 2. $$ 最终答案为 $\ln 2$。验证：$\ln 2 \approx 0.6931$，且被积函数 $\frac{1}{x(1+x)}$ 在 $[1,+\infty)$ 上恒正，积分结果为正，合理。