2013年考研数学一第13题

已知矩阵关系式为 $A^T = -A^*$，其中 $A$ 是 $3$ 阶矩阵，$A^*$ 是 $A$ 的伴随矩阵。为了利用行列式的性质建立 $|A|$ 的方程，我们对等式两边同时取行列式。 左边：$|A^T|$。根据行列式的性质，转置不改变行列式的值，即 $|A^T| = |A|$。 右边：$|-A^*|$。由于 $A^*$ 是 $3$ 阶矩阵，提取常数因子 $-1$ 时，行列式需乘以 $(-1)^3$（因为行列式每行提取一个公因子，$n$ 阶矩阵提取 $n$ 次）。因此 $|-A^*| = (-1)^3 |A^*| = -|A^*|$。 于是得到等式： $$|A| = -|A^*|.$$ 接下来，利用伴随矩阵的行列式性质：对于 $n$ 阶矩阵 $A$，有 $|A^*| = |A|^{n-1}$。这里 $n=3$，所以 $|A^*| = |A|^{2}$。代入上式得： $$|A| = -|A|^{2}.$$ 移项整理： $$|A| + |A|^2 = 0 \quad \Rightarrow \quad |A|(1 + |A|) = 0.$$ 因此 $|A| = 0$ 或 $|A| = -1$。 注意：本步骤仅完成取行列式的操作，得到 $|A| = -|A^*|$ 的关系，后续步骤将结合其他条件（如矩阵可逆性）进一步确定 $|A|$ 的值。

对于 $n$ 阶方阵 $A$，其伴随矩阵 $A^*$ 的行列式满足公式 $|A^*| = |A|^{n-1}$。本题中 $A$ 是 3 阶矩阵，因此 $n=3$，代入公式得 $|A^*| = |A|^{3-1} = |A|^2$。 题目已知条件为 $|A^*| = -|A|$，将上述关系代入，得到方程： $$|A|^2 = -|A|$$ 移项整理得： $$|A|^2 + |A| = 0$$ 即 $|A|(|A| + 1) = 0$。 由此可得 $|A| = 0$ 或 $|A| = -1$。但注意，伴随矩阵的行列式公式 $|A^*| = |A|^{n-1}$ 在 $|A|=0$ 时仍然成立（此时 $|A^*|=0$），因此 $|A|=0$ 是可能的解。然而，题目后续步骤需要结合其他条件（如 $A$ 可逆等）进一步判断，当前步骤仅得到关于 $|A|$ 的二次方程。 本步骤的核心是正确运用伴随矩阵的行列式性质，将已知条件转化为关于 $|A|$ 的代数方程，为后续求解 $|A|$ 的具体值奠定基础。

由前一步得到的方程 $|A| = -|A|^2$，将其移项整理为标准形式。将等式右边的项移到左边：$|A| + |A|^2 = 0$。提取公因式 $|A|$，得到 $|A|(1 + |A|) = 0$。 根据乘法性质，若两个因式的乘积为零，则至少有一个因式为零。因此，我们得到两个可能的方程： 1. $|A| = 0$； 2. $1 + |A| = 0$，即 $|A| = -1$。 所以，行列式 $|A|$ 的可能取值为 $0$ 或 $-1$。注意，这里没有其他约束条件（如矩阵阶数、可逆性等）来排除其中一个值，因此两个值都是可能的解。