2013年考研数学一第16题

设幂级数 $S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，其中 $a_n$ 为待定系数。首先，在收敛域内对 $S(x)$ 逐项求导，得到一阶导数： $$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}.$$ 再对 $S'(x)$ 逐项求导，得到二阶导数： $$S''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.$$ 为了后续代入微分方程时便于合并同次幂项，将 $S''(x)$ 的求和指标平移，令 $k=n-2$，则 $n=k+2$，当 $n=2$ 时 $k=0$，于是 $$S''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2} x^{k}.$$ 将指标 $k$ 换回常用的 $n$，得到 $$S''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.$$ 这样，$S(x)$、$S'(x)$ 和 $S''(x)$ 都表示为以 $x^n$ 为通项的级数形式，便于后续代入微分方程后比较系数。

已知函数$S(x)$的麦克劳林级数展开为$S(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$，且系数满足递推关系$a_{n-2}=n(n-1)a_n$（$n\ge 2$）。为了将$S''(x)$的级数表达式中的系数转化为$a_n$，我们首先对$S(x)$逐项求导两次，得到： $$S'(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n a_n x^{n-1}, \quad S''(x)=\sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_n x^{n-2}.$$ 令$k=n-2$，则$n=k+2$，当$n\ge 2$时$k\ge 0$，于是 $$S''(x)=\sum_{k=0}^{\infty} (k+2)(k+1)a_{k+2} x^{k}.$$ 将求和指标重新记为$n$，即 $$S''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2} x^{n}.$$ 现在利用给定的递推关系。由$a_{n-2}=n(n-1)a_n$，令$n\to n+2$，得到$a_n=(n+2)(n+1)a_{n+2}$。将此式代入$S''(x)$的级数中，有 $$(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_n,$$ 因此 $$S''(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n}=S(x).$$ 于是我们得到微分方程$S''(x)-S(x)=0$。

根据前一步得到的微分方程 $S'' - S = 0$，这是一个二阶常系数齐次线性微分方程。首先写出其特征方程：令 $S = e^{\lambda x}$，代入得 $\lambda^2 e^{\lambda x} - e^{\lambda x} = 0$，即 $\lambda^2 - 1 = 0$。解特征方程得特征根 $\lambda = \pm 1$，两个不同的实根。因此，微分方程的通解形式为 $S(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{x}$，其中 $C_1$ 和 $C_2$ 为任意常数。此通解表示函数 $S(x)$ 由指数衰减项和指数增长项线性组合而成。

根据前几步的求解，我们已经得到了幂级数的和函数形式。首先，回顾原级数为 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n + 2}{n!} x^n$，将其拆分为两个级数之和：$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^n + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!} x^n$。第一个级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^n$ 正是 $e^{-x}$ 的麦克劳林展开式，因为 $e^{-x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-x)^n}{n!} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n!} x^n$。第二个级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{2}{n!} x^n = 2 \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} = 2e^x$。因此，原级数的和函数为 $S(x) = e^{-x} + 2e^x$。 验证：当 $x=0$ 时，$S(0)=e^0+2e^0=1+2=3$，而原级数在 $x=0$ 时第一项为 $\frac{(-1)^0+2}{0!} \cdot 0^0$（约定 $0^0=1$）得 $1+2=3$，一致。另外，对 $S(x)$ 求导可得 $S'(x) = -e^{-x} + 2e^x$，与原级数逐项求导后的结果相符。因此，和函数表达式正确。 最终答案：$S(x) = e^{-x} + 2e^x$，收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。