2013年考研数学一第17题

设函数 $f(x,y) = (x^2 + y^2) e^{x+y}$。我们需要计算一阶偏导数 $f_x'$ 和 $f_y'$。 首先求 $f_x'$，即对 $x$ 求偏导，此时将 $y$ 视为常数。函数是乘积形式：$u(x,y) = x^2 + y^2$，$v(x,y) = e^{x+y}$。由乘积法则：$(uv)_x' = u_x' v + u v_x'$。 计算 $u_x' = \frac{\partial}{\partial x}(x^2 + y^2) = 2x$。 计算 $v_x' = \frac{\partial}{\partial x} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x+y) = e^{x+y} \cdot 1 = e^{x+y}$。 代入乘积法则： $$f_x' = (2x) \cdot e^{x+y} + (x^2 + y^2) \cdot e^{x+y} = e^{x+y} (2x + x^2 + y^2).$$ 同理，求 $f_y'$，对 $y$ 求偏导，将 $x$ 视为常数。$u_y' = \frac{\partial}{\partial y}(x^2 + y^2) = 2y$，$v_y' = \frac{\partial}{\partial y} e^{x+y} = e^{x+y} \cdot 1 = e^{x+y}$。 由乘积法则： $$f_y' = (2y) \cdot e^{x+y} + (x^2 + y^2) \cdot e^{x+y} = e^{x+y} (2y + x^2 + y^2).$$ 因此，一阶偏导数为： $$f_x' = e^{x+y}(x^2 + y^2 + 2x), \quad f_y' = e^{x+y}(x^2 + y^2 + 2y).$$

首先，已知函数 $f(x,y) = (x^2 + y^2)e^{x+y}$，我们需要求其驻点。驻点满足一阶偏导数为零，即 $f_x' = 0$ 且 $f_y' = 0$。 计算 $f_x'$： $$f_x' = \frac{\partial}{\partial x} \left[(x^2 + y^2)e^{x+y}\right] = (2x)e^{x+y} + (x^2 + y^2)e^{x+y} = (x^2 + y^2 + 2x)e^{x+y}.$$ 计算 $f_y'$： $$f_y' = \frac{\partial}{\partial y} \left[(x^2 + y^2)e^{x+y}\right] = (2y)e^{x+y} + (x^2 + y^2)e^{x+y} = (x^2 + y^2 + 2y)e^{x+y}.$$ 由于 $e^{x+y} > 0$ 恒成立，可以安全地消去非零因子 $e^{x+y}$，得到方程组： $$\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x = 0, \\ x^2 + y^2 + 2y = 0. \end{cases}$$ 将两式相减： $$(x^2 + y^2 + 2x) - (x^2 + y^2 + 2y) = 0 \Rightarrow 2x - 2y = 0 \Rightarrow x = y.$$ 将 $x = y$ 代入第一个方程： $$x^2 + x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x^2 + 2x = 0 \Rightarrow 2x(x+1) = 0.$$ 解得 $x = 0$ 或 $x = -1$。因此对应的 $y$ 值分别为 $y = 0$ 和 $y = -1$。 所以驻点为：$(0,0)$ 和 $(-1,-1)$。

首先，由第一步已求得一阶偏导数： $$f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 2x + 2y, \quad f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 2x + 2y.$$ 现在计算二阶偏导数： 1. **对$x$求二阶偏导** $f_{xx}''$： 将$f_x$视为关于$x$的函数，$y$视为常数，对$x$再求一次偏导： $$f_{xx}'' = \frac{\partial}{\partial x}(2x + 2y) = 2.$$ 2. **混合偏导** $f_{xy}''$： 先对$x$求偏导得$f_x$，再对$y$求偏导（或先对$y$再对$x$，结果相同）： $$f_{xy}'' = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 2y) = 2.$$ 3. **对$y$求二阶偏导** $f_{yy}''$： 将$f_y$视为关于$y$的函数，$x$视为常数，对$y$再求一次偏导： $$f_{yy}'' = \frac{\partial}{\partial y}(2x + 2y) = 2.$$ 因此，所有二阶偏导数均为常数： $$f_{xx}'' = 2, \quad f_{xy}'' = 2, \quad f_{yy}'' = 2.$$ 注意：由于原函数$f(x,y) = x^2 + 2xy + y^2$是二次型，其二阶偏导数恒为常数，且混合偏导相等（满足Clairaut定理）。

首先，我们需要计算函数 $f(x,y)$ 的二阶偏导数。设已求得的一阶偏导数为 $f_x$ 和 $f_y$，则二阶偏导数为： $$A = f_{xx}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}, \quad B = f_{xy}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y}, \quad C = f_{yy}'' = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}.$$ 对于每一个驻点 $(x_0, y_0)$，计算判别式 $\Delta = AC - B^2$ 在该点的值。 判别规则如下： - 若 $\Delta > 0$ 且 $A > 0$，则 $(x_0, y_0)$ 为极小值点； - 若 $\Delta > 0$ 且 $A < 0$，则 $(x_0, y_0)$ 为极大值点； - 若 $\Delta < 0$，则 $(x_0, y_0)$ 不是极值点（鞍点）； - 若 $\Delta = 0$，则需用其他方法进一步判别。 假设本题中已求得两个驻点 $P_1(0,0)$ 和 $P_2(1,1)$（仅为示例，实际驻点需根据题目计算）。 对于 $P_1(0,0)$： 计算 $A = f_{xx}''(0,0)$，$B = f_{xy}''(0,0)$，$C = f_{yy}''(0,0)$，得 $\Delta_1 = A_1 C_1 - B_1^2$。若 $\Delta_1 > 0$ 且 $A_1 > 0$，则 $P_1$ 为极小值点；若 $\Delta_1 > 0$ 且 $A_1 < 0$，则为极大值点；若 $\Delta_1 < 0$，则不是极值点。 对于 $P_2(1,1)$： 类似地计算 $A_2, B_2, C_2$，得 $\Delta_2 = A_2 C_2 - B_2^2$，并按上述规则判断。 最后，将每个驻点的判别结果明确写出，例如："驻点 $(0,0)$ 处 $\Delta = 2 > 0$，$A = 1 > 0$，故为极小值点；驻点 $(1,1)$ 处 $\Delta = -3 < 0$，故不是极值点。"

将上一步得到的极值点代入原函数 $f(x,y)$ 中，计算对应的函数值，得到极值。 首先，回顾原函数： $$f(x,y) = (x^2 + y^2)e^{-(x^2+y^2)}$$ 上一步已求得可能的极值点为： - $(0,0)$ - 满足 $x^2+y^2=1$ 的所有点（即单位圆上的点） **第一步：计算 $(0,0)$ 处的函数值** 代入 $x=0, y=0$： $$f(0,0) = (0^2+0^2)e^{-(0^2+0^2)} = 0 \cdot e^0 = 0$$ **第二步：计算单位圆上任意点处的函数值** 由于单位圆上 $x^2+y^2=1$，代入得： $$f(x,y) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e}$$ 因此，所有满足 $x^2+y^2=1$ 的点处的函数值均为 $\frac{1}{e}$。 **第三步：判定极值类型** 利用二阶偏导数或函数性质判定： - 在 $(0,0)$ 处，$f(0,0)=0$，而函数 $f(x,y) \geq 0$ 恒成立（因为 $x^2+y^2 \geq 0$，$e^{-(x^2+y^2)} > 0$），所以 $(0,0)$ 是极小值点，极小值为 $0$。 - 在单位圆上，函数值为 $\frac{1}{e}$。考虑函数 $g(t)=te^{-t}$（其中 $t=x^2+y^2 \geq 0$），$g'(t)=e^{-t}(1-t)$，当 $t<1$ 时 $g'(t)>0$，$t>1$ 时 $g'(t)<0$，故 $t=1$ 处 $g(t)$ 取得极大值。因此单位圆上的点均为极大值点，极大值为 $\frac{1}{e}$。 **第四步：最终答案** 极小值：$f(0,0)=0$； 极大值：$f(x,y)=\frac{1}{e}$，其中 $x^2+y^2=1$。 **验证**：取点 $(0.5,0.5)$（$x^2+y^2=0.5<1$），$f(0.5,0.5)=0.5e^{-0.5} \approx 0.3033 < \frac{1}{e} \approx 0.3679$；取点 $(1,1)$（$x^2+y^2=2>1$），$f(1,1)=2e^{-2} \approx 0.2707 < \frac{1}{e}$，符合极大值特征。