2013年考研数学一第18题
📝 题目
设奇函数 $f(x)$ 在 $[-1,1]$ 上具有二阶导数，且 $f(1)=1$ ．证明： （I）存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=1$ ； （II）存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ．
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）方法一 因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$ ，于是 $f(0)=0$ ．由拉格朗日中值定理，存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $f^{\prime}(\xi)=\displaystyle\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=1$ ．
方法二 因为 $f(x)$ 为奇函数，所以 $f(-x)=-f(x)$ ，于是 $f(0)=0$ ． 令 $\varphi(x)=f(x)-x$ ，则 $\varphi(0)=0, \varphi(1)=f(1)-1=0$ ，由罗尔定理，存在 $\xi \in(0,1)$ ，使得 $\varphi^{\prime}(\xi)=0$ ． 而 $\varphi^{\prime}(x)=f^{\prime}(x)-1$ ，于是 $f^{\prime}(\xi)=1$ 。 （II）因为 $f^{\prime}(x)$ 为偶函数，所以 $f^{\prime}(-\xi)=1$ ． 令 $h(x)=\left[f^{\prime}(x)-1\right] \mathrm{e}^{x}, h(-\xi)=h(\xi)=0$ ，由罗尔定理，存在 $\eta \in(-1,1)$ ，使得 $h^{\prime}(\eta)=0$ 。而 $h^{\prime}(x)=f^{\prime \prime}(x) \mathrm{e}^{x}+\left[f^{\prime}(x)-1\right] \mathrm{e}^{x}=\left[f^{\prime \prime}(x)+f^{\prime}(x)-1\right] \mathrm{e}^{x}$ 且 $\mathrm{e}^{x} \neq 0$ ， 所以 $f^{\prime \prime}(\eta)+f^{\prime}(\eta)=1$ ． 方法点评：本题考查中值定理。中值定理部分最难以掌握的部分就是辅助函数的构造，事实上构造辅助函数有一整套的方法，就本题辅助函数构造作如下补充：
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用奇函数性质得出f(0)=0
已知函数$f(x)$是奇函数，根据奇函数的定义，对于定义域内的任意$x$，都有$f(-x) = -f(x)$。特别地，当$x=0$时，代入定义式得到$f(-0) = -f(0)$。由于$-0 = 0$，因此有$f(0) = -f(0)$。将等式两边同时加上$f(0)$，得到$2f(0) = 0$，从而解得$f(0) = 0$。这一结论是奇函数的一个重要性质：若奇函数在$x=0$处有定义，则其函数值必为零。本题中，由题设条件可知$f(x)$在$x=0$处连续且可导，因此$f(0)$必然存在，故可直接应用该性质得到$f(0)=0$。该结果将为后续步骤中利用微分方程求解$f(x)$提供初始条件。
公式：$$f(-x) = -f(x) \quad \Rightarrow \quad f(0) = -f(0) \quad \Rightarrow \quad f(0)=0$$
提示：奇函数在0点有定义时，f(0)必为0，可直接使用。
步骤 2/7
目标：证明存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1（方法一）
由题设，函数 $f(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导，且满足 $f(0)=0$，$f(1)=1$。为了证明存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=1$，我们首先考虑应用拉格朗日中值定理。
拉格朗日中值定理的条件是：函数在闭区间上连续，在开区间内可导。显然 $f(x)$ 满足这些条件，因此存在 $\xi \in (0,1)$，使得
$$f'(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0}.$$
代入已知条件 $f(0)=0$，$f(1)=1$，得到
$$f'(\xi) = \frac{1-0}{1-0} = 1.$$
这就直接证明了存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $f'(\xi)=1$。本步骤方法一利用拉格朗日中值定理直接得到结论，无需额外构造辅助函数。
公式：$$f'(\xi) = \frac{f(1)-f(0)}{1-0} = 1$$
提示：直接利用已知端点值，套用拉格朗日中值定理公式即可快速得证。
步骤 3/7
目标：证明存在ξ∈(0,1)使f'(ξ)=1（方法二）
构造辅助函数 $\varphi(x)=f(x)-x$。由已知条件 $f(0)=0$，$f(1)=1$，可得 $\varphi(0)=f(0)-0=0$，$\varphi(1)=f(1)-1=0$。因此 $\varphi(x)$ 在闭区间 $[0,1]$ 上连续，在开区间 $(0,1)$ 内可导（因为 $f(x)$ 在 $[0,1]$ 上连续，在 $(0,1)$ 内可导），且 $\varphi(0)=\varphi(1)=0$。根据罗尔定理，存在 $\xi\in(0,1)$，使得 $\varphi'(\xi)=0$。而 $\varphi'(x)=f'(x)-1$，故 $\varphi'(\xi)=f'(\xi)-1=0$，即 $f'(\xi)=1$。证毕。
公式：$$\varphi(x)=f(x)-x,\quad \varphi(0)=\varphi(1)=0,\quad \varphi'(\xi)=0\Rightarrow f'(\xi)=1$$
提示：构造 $\varphi(x)=f(x)-x$ 将目标转化为导数为零的形式，直接应用罗尔定理。
步骤 4/7
目标：利用奇函数导数性质得到f'(-ξ)=1
由题目条件可知，函数$f(x)$为奇函数，即对任意$x$有$f(-x) = -f(x)$。对等式两边同时求导，利用复合函数求导法则，左边导数为$(-1) \cdot f'(-x)$，右边导数为$-f'(x)$，因此得到$f'(-x) = f'(x)$，这说明$f'(x)$是偶函数。
在步骤3中，我们已经由拉格朗日中值定理得到存在$\xi \in (0,1)$，使得$f'(\xi) = 1$。由于$f'(x)$是偶函数，所以有$f'(-\xi) = f'(\xi) = 1$。
这一结论为下一步在区间$[-1,0]$上应用拉格朗日中值定理提供了关键条件，即存在点$-\xi$处的导数值为1。
公式：$$f'(-\xi) = f'(\xi) = 1$$
提示：记住：奇函数导数为偶函数，偶函数导数为奇函数。
步骤 5/7
目标：构造辅助函数h(x)并验证零点
根据前一步得到的$f'(\xi)=1$和$f'(-\xi)=1$，我们构造辅助函数$h(x)=[f'(x)-1]e^{x}$。该函数在区间$[-\xi,\xi]$上连续（因为$f'(x)$连续，$e^x$连续），且可导（$f'(x)$可导，$e^x$可导）。
首先计算$h(\xi)$：
$$h(\xi)=[f'(\xi)-1]e^{\xi}=[1-1]e^{\xi}=0 \cdot e^{\xi}=0.$$
再计算$h(-\xi)$：
$$h(-\xi)=[f'(-\xi)-1]e^{-\xi}=[1-1]e^{-\xi}=0 \cdot e^{-\xi}=0.$$
因此，$h(\xi)=0$且$h(-\xi)=0$，即$h(x)$在区间$[-\xi,\xi]$的两个端点处函数值均为零。由罗尔定理可知，存在一点$\eta\in(-\xi,\xi)$，使得$h'(\eta)=0$。
计算$h'(x)$：
$$h'(x)=[f''(x)]e^{x}+[f'(x)-1]e^{x}=e^{x}[f''(x)+f'(x)-1].$$
由$h'(\eta)=0$得：
$$e^{\eta}[f''(\eta)+f'(\eta)-1]=0.$$
由于$e^{\eta}>0$，故必有
$$f''(\eta)+f'(\eta)-1=0,$$
即
$$f''(\eta)=1-f'(\eta).$$
至此，我们通过构造辅助函数$h(x)$并利用罗尔定理，得到了存在$\eta\in(-\xi,\xi)$使得$f''(\eta)=1-f'(\eta)$成立。
公式：h(x)=[f'(x)-1]e^{x}, \quad h(\xi)=0, \quad h(-\xi)=0, \quad h'(\eta)=0 \Rightarrow f''(\eta)+f'(\eta)-1=0
提示：构造辅助函数时，常将已知等式转化为乘积形式，便于应用罗尔定理。
步骤 6/7
目标：在[-ξ,ξ]上应用罗尔定理
由前一步构造的辅助函数 $h(x) = f(x) - f(-x) - 2f'(0)x$，我们已经验证了 $h(x)$ 在 $[-1,1]$ 上连续，在 $(-1,1)$ 内可导，并且满足 $h(0)=0$。进一步，由步骤5得到存在 $\xi \in (0,1)$ 使得 $h(\xi) = 0$。同时，由于 $h(x)$ 是奇函数（因为 $f(x)$ 是偶函数，$f(-x)$ 是偶函数，$2f'(0)x$ 是奇函数，故 $h(x)$ 为奇函数），所以 $h(-\xi) = -h(\xi) = 0$。因此，$h(x)$ 在闭区间 $[-\xi, \xi]$ 上满足罗尔定理的条件：
1. $h(x)$ 在 $[-\xi, \xi]$ 上连续（由 $h$ 在 $[-1,1]$ 上连续可得）；
2. $h(x)$ 在 $(-\xi, \xi)$ 内可导（由 $h$ 在 $(-1,1)$ 内可导可得）；
3. 端点函数值相等：$h(-\xi) = h(\xi) = 0$。
根据罗尔定理，存在一点 $\eta \in (-\xi, \xi) \subset (-1,1)$，使得 $h'(\eta) = 0$。
计算 $h'(x)$：
$$h'(x) = f'(x) + f'(-x) - 2f'(0)$$
代入 $x = \eta$ 得：
$$h'(\eta) = f'(\eta) + f'(-\eta) - 2f'(0) = 0$$
即
$$f'(\eta) + f'(-\eta) = 2f'(0)$$
这就得到了所需结论。
公式：$$h'(\eta) = f'(\eta) + f'(-\eta) - 2f'(0) = 0$$
提示：注意利用奇偶性得到 $h(-\xi)=0$，这是应用罗尔定理的关键。
步骤 7/7
目标：计算h'(x)并代入η得到结论
首先，由第6步已知 $h(x)=f'(x)e^x - e^x$，对 $h(x)$ 求导得：
$$h'(x) = \frac{d}{dx}\left[f'(x)e^x\right] - \frac{d}{dx}\left[e^x\right] = f''(x)e^x + f'(x)e^x - e^x = \left[f''(x) + f'(x) - 1\right]e^x.$$
由于 $\eta$ 是 $h(x)$ 的零点，且由罗尔定理知存在 $\eta \in (0,1)$ 使得 $h'(\eta)=0$。代入 $x=\eta$ 得：
$$h'(\eta) = \left[f''(\eta) + f'(\eta) - 1\right]e^{\eta} = 0.$$
因为 $e^{\eta} \neq 0$，所以必有 $f''(\eta) + f'(\eta) - 1 = 0$，即
$$f''(\eta) + f'(\eta) = 1.$$
至此，我们证明了存在 $\eta \in (0,1)$ 使得 $f''(\eta)+f'(\eta)=1$，完成了题目的证明。
最终答案：存在 $\eta \in (0,1)$，满足 $f''(\eta)+f'(\eta)=1$。
公式：$$h'(x)=\left[f''(x)+f'(x)-1\right]e^x, \quad h'(\eta)=0 \Rightarrow f''(\eta)+f'(\eta)=1$$
提示：求导时注意乘积法则，代入零点后利用指数函数非零性简化方程。
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