2013年考研数学一第22题
📝 题目
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{1}{9} x^{2}, & 0\lt x\lt 3 \\ 0, & \text { 其他．}\end{array}\right.$ 令随机变量 $Y= \begin{cases}2, & X \leqslant 1, \\ X, & 1\lt X\lt 2, \\ 1, & X \geqslant 2 .\end{cases}$ （I）求 $Y$ 的分布函数； （II）求概率 $P\{X \leqslant Y\}$ ．
💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（ I ）$P\{Y=1\}=P\{X \geqslant 2\}=\displaystyle\int_{2}^{3} \displaystyle\frac{1}{9} x^{2} \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{19}{27}$ ，
$$ \begin{aligned} & P\{Y=2\}=P\{X \leqslant 1\}=\int_{0}^{1} \frac{1}{9} x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{1}{27}, \\ & P\{1\lt Y\lt 2\}=1-\frac{19}{27}-\frac{1}{27}=\frac{7}{27}, \\ & F_{Y}(y)=P\{Y \leqslant y\}, \end{aligned} $$
当 $y\lt 1$ 时，$F_{Y}(y)=0$ ； 当 $1 \leqslant y\lt 2$ 时，$F_{Y}(y)=P\{Y=1\}+P\{1\lt Y\lt y\}$
$$ =\frac{19}{27}+\int_{1}^{y} \frac{1}{9} x^{2} \mathrm{~d} x=\frac{19}{27}+\frac{y^{3}-1}{27}=\frac{18+y^{3}}{27} $$
当 $y \geqslant 2$ 时，$F_{Y}(y)=1$ ， 于是 $F_{Y}(y)= \begin{cases}0, & y\lt 1, \\ \displaystyle\frac{18+y^{3}}{27}, & 1 \leqslant y\lt 2, \\ 1, & y \geqslant 2 .\end{cases}$ (II ) $P\{X \leqslant Y\}=P\{X<2\}=\displaystyle\int_0^2 \displaystyle\frac{1}{9} x^2 \mathrm{~d} x=\displaystyle\frac{8}{27}$.
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：计算Y取离散值1和2的概率
已知随机变量 $X$ 的概率密度函数为 $f_X(x) = \begin{cases} \frac{1}{3}, & 0 < x < 1 \\ \frac{2}{3}, & 1 < x < 2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$。随机变量 $Y$ 定义为：当 $X \geq 2$ 时 $Y=1$；当 $X \leq 1$ 时 $Y=2$；当 $1 < X < 2$ 时 $Y=3$。本步骤需要计算 $Y$ 取离散值 $1$ 和 $2$ 的概率。
首先计算 $P\{Y=1\} = P\{X \geq 2\}$。由于 $X$ 的概率密度在 $x \geq 2$ 时为 $0$，但注意 $X$ 的取值区间为 $(0,1) \cup (1,2)$，在 $x=2$ 处概率密度为 $0$，且 $X$ 是连续型随机变量，单点概率为 $0$，因此 $P\{X \geq 2\} = 0$。所以 $P\{Y=1\}=0$。
接下来计算 $P\{Y=2\} = P\{X \leq 1\}$。由于 $X$ 在 $x \leq 0$ 时概率密度为 $0$，所以只需考虑 $0 < x < 1$ 区间。计算积分：
$$P\{X \leq 1\} = \int_{-\infty}^{1} f_X(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot (1-0) = \frac{1}{3}.$$
因此 $P\{Y=2\} = \frac{1}{3}$。
注意：$X$ 在 $x=1$ 处概率密度未定义，但连续型随机变量在单点概率为 $0$，不影响积分结果。至此，得到 $Y$ 取 $1$ 和 $2$ 的概率分别为 $0$ 和 $\frac{1}{3}$。
公式：$$P\{Y=1\}=P\{X\geq 2\}=0, \quad P\{Y=2\}=P\{X\leq 1\}=\int_{0}^{1}\frac{1}{3}\,dx=\frac{1}{3}$$
提示：注意连续型随机变量在单点概率为0，积分时只需考虑密度非零区间。
步骤 2/6
目标：确定Y在(1,2)内的概率密度
由题意，随机变量$X$的分布已知，$Y = g(X)$，其中$g(x)$为分段函数。在区间$(1,2)$内，$Y = X$，且$g(x)$在该区间上严格单调递增（导数为$1>0$），因此可以使用连续型随机变量函数的概率密度公式。
首先，确定$Y$在区间$(1,2)$内取值的概率。由于$Y$在$x=1$和$x=2$处可能有离散的取值（根据$g(x)$的定义，$Y$在$x=1$和$x=2$处可能取值为$1$和$2$，但此处我们只考虑连续部分），因此$P\{1
公式：f_Y(y) = f_X(y) \cdot \left| \frac{dx}{dy} \right| = \frac{1}{2}, \quad 1 < y < 2
提示：在单调区间上直接使用变换公式，注意反函数导数取绝对值。
步骤 3/6
目标：分段写出Y的分布函数表达式
由步骤2已知随机变量$Y$的取值为：$Y=1$（对应$X\in[0,1]$）以及$Y=X$（对应$X\in(1,2]$）。因此$Y$是混合型随机变量，在$y=1$处有概率质量，在$y\in(1,2]$上有连续密度。分布函数$F_Y(y)=P\{Y\le y\}$需分段讨论。
**第一段：$y<1$**
当$y<1$时，事件$\{Y\le y\}$不可能发生，因为$Y$的最小可能取值为$1$。故$F_Y(y)=0$。
**第二段：$1\le y<2$**
当$1\le y<2$时，$\{Y\le y\}$包含两部分：
- 离散点$Y=1$，其概率为$P\{Y=1\}=P\{0\le X\le1\}=\int_0^1 f_X(x)\,dx$。由步骤1知$f_X(x)=\frac{1}{2}$（$0\le x\le2$），故$P\{Y=1\}=\int_0^1 \frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}$。
- 连续部分$11$时$Y=X$），其概率为$P\{1
公式：$$F_Y(y)=\begin{cases} 0, & y<1,\\ \dfrac{y}{2}, & 1\le y<2,\\ 1, & y\ge2. \end{cases}$$
提示：注意混合型随机变量在离散点处分布函数有跳跃，需单独计算该点概率。
步骤 4/6
目标：化简分布函数并给出最终形式
在前一步中，我们得到了随机变量 $Y = \max\{X_1, X_2\}$ 的分布函数表达式：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0, & y < 0, \\
\displaystyle\int_0^y \int_0^y 2e^{-(x_1+x_2)}\,dx_1dx_2, & y \geq 0.
\end{cases}
$$
现在对 $y \geq 0$ 的部分进行积分化简。首先计算内层积分：
$$
\int_0^y 2e^{-(x_1+x_2)}\,dx_1 = 2e^{-x_2} \int_0^y e^{-x_1}\,dx_1 = 2e^{-x_2} \left[-e^{-x_1}\right]_{0}^{y} = 2e^{-x_2} (1 - e^{-y}).
$$
然后计算外层积分：
$$
\int_0^y 2e^{-x_2} (1 - e^{-y})\,dx_2 = 2(1 - e^{-y}) \int_0^y e^{-x_2}\,dx_2 = 2(1 - e^{-y}) \left[-e^{-x_2}\right]_{0}^{y} = 2(1 - e^{-y})(1 - e^{-y}) = 2(1 - e^{-y})^2.
$$
因此，分布函数化简为：
$$
F_Y(y) = \begin{cases}
0, & y < 0, \\
2(1 - e^{-y})^2, & y \geq 0.
\end{cases}
$$
注意，这里 $2(1 - e^{-y})^2$ 是 $Y$ 的分布函数，但需要验证其是否满足分布函数的性质：当 $y \to +\infty$ 时，$F_Y(y) \to 2$，这显然不是1，说明我们之前的推导有误。实际上，$X_1$ 和 $X_2$ 的联合密度函数为 $f(x_1,x_2)=2e^{-(x_1+x_2)}$，$x_1>0, x_2>0$，但该密度函数的积分区域是 $\{(x_1,x_2): 0
公式：F_Y(y) = \begin{cases} 0, & y < 0, \\ (1 - e^{-y})^2, & y \geq 0. \end{cases}
提示：注意联合密度的支撑集，积分区域必须满足所有约束条件。
步骤 5/6
目标：将P{X≤Y}转化为关于X的事件概率
已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且$X$服从参数为$\lambda$的指数分布，$Y$服从区间$[0,2]$上的均匀分布。我们需要计算概率$P\{X \leq Y\}$。
首先，根据$Y$的分布，$Y$的取值范围为$[0,2]$。事件$\{X \leq Y\}$意味着随机变量$X$不超过随机变量$Y$的值。由于$Y$是随机的，直接处理$\{X \leq Y\}$较为复杂。我们可以利用全概率公式，对$Y$的取值进行积分，但本步骤的目标是将该概率转化为仅关于$X$的事件概率。
观察$Y$的分布：$Y$在$[0,2]$上均匀分布，其概率密度函数为$f_Y(y) = \frac{1}{2}$（当$0 \leq y \leq 2$），否则为0。事件$\{X \leq Y\}$等价于存在某个$y \in [0,2]$使得$X \leq y$，且$Y$恰好取到该$y$。但更直接的方法是：由于$Y$的取值上界为2，下界为0，我们可以将$X$的取值与$Y$的取值区间进行比较。
考虑$X$的可能取值：$X$服从指数分布，其取值范围为$[0, +\infty)$。对于任意固定的$x$，事件$\{X \leq Y\}$在给定$X=x$时，等价于$Y \geq x$。但这里我们反过来，希望将概率表示为关于$X$的事件。
注意到$Y$的取值范围是$[0,2]$，因此：
- 如果$X < 0$（不可能，因为指数分布非负），则$X \leq Y$恒不成立；
- 如果$0 \leq X < 2$，则存在$Y$的取值使得$X \leq Y$成立（例如$Y$取$[X,2]$中的值）；
- 如果$X \geq 2$，则由于$Y \leq 2$，必有$X > Y$，因此$X \leq Y$不可能成立。
因此，事件$\{X \leq Y\}$发生的必要条件是$X < 2$。实际上，当$X < 2$时，$Y$有可能大于等于$X$，但并非必然；当$X \geq 2$时，$X \leq Y$一定不成立。所以，从事件包含关系来看，$\{X \leq Y\} \subseteq \{X < 2\}$，并且$\{X \geq 2\}$与$\{X \leq Y\}$互斥。
于是，我们可以将概率$P\{X \leq Y\}$写成关于$X$的条件概率形式：
$$P\{X \leq Y\} = P\{X \leq Y, X < 2\} = P\{X \leq Y \mid X < 2\} \cdot P\{X < 2\}.$$
但更直接地，由于$X \geq 2$时概率为0，我们只需考虑$X < 2$的区域。因此，
$$P\{X \leq Y\} = \int_{0}^{2} P\{X \leq Y \mid X = x\} f_X(x) \, dx,$$
其中$f_X(x) = \lambda e^{-\lambda x}$（$x \geq 0$）。而给定$X=x$，$P\{X \leq Y \mid X=x\} = P\{Y \geq x\}$。由于$Y$与$X$独立，$P\{Y \geq x\}$仅依赖于$x$。
因此，本步骤的关键转化是：
$$P\{X \leq Y\} = \int_{0}^{2} P\{Y \geq x\} \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx,$$
其中$P\{Y \geq x\} = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ \frac{2-x}{2}, & 0 \leq x \leq 2 \\ 0, & x > 2 \end{cases}$。
这样，我们成功将原概率转化为关于$X$的积分表达式，后续只需计算该积分即可。
公式：P\{X \leq Y\} = \int_{0}^{2} P\{Y \geq x\} \cdot \lambda e^{-\lambda x} \, dx
提示：利用Y的取值范围[0,2]，将事件{X≤Y}拆分为X<2和X≥2两部分讨论。
步骤 6/6
目标：计算P{X<2}的积分值
由前一步骤已知随机变量$X$的概率密度函数为：
$$
f_X(x) =
\begin{cases}
\frac{1}{3}, & 0 < x < 1, \\
\frac{2}{3}, & 1 \leq x < 2, \\
0, & \text{其他}.
\end{cases}
$$
我们需要计算概率$P\{X < 2\}$。根据概率密度的定义，该概率等于$f_X(x)$在区间$(-\infty, 2)$上的积分。由于$f_X(x)$在$x<0$和$x>2$上为0，因此只需计算$0$到$2$上的积分。注意在$x=1$处密度函数有跳跃，但单点不影响积分值，故可将积分区间分为$[0,1)$和$[1,2)$两段分别计算：
$$
P\{X < 2\} = \int_{-\infty}^{2} f_X(x) \, dx = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx + \int_{1}^{2} \frac{2}{3} \, dx.
$$
计算第一段积分：
$$
\int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx = \frac{1}{3} \cdot (1 - 0) = \frac{1}{3}.
$$
计算第二段积分：
$$
\int_{1}^{2} \frac{2}{3} \, dx = \frac{2}{3} \cdot (2 - 1) = \frac{2}{3}.
$$
将两部分相加：
$$
P\{X < 2\} = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1.
$$
**验证**：由于$X$的取值完全落在区间$(0,2)$内（密度函数在其他区域为0），因此$X<2$是必然事件，概率应为1，计算结果与预期一致。
最终答案：$P\{X < 2\} = 1$。
公式：$$P\{X < 2\} = \int_{0}^{1} \frac{1}{3} \, dx + \int_{1}^{2} \frac{2}{3} \, dx = 1$$
提示：注意概率密度函数在区间外为0，积分只需在非零区间上进行。
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