2013年考研数学一第4题
📝 题目
设 $L_{1}: x^{2}+y^{2}=1, L_{2}: x^{2}+y^{2}=2, L_{3}: x^{2}+2 y^{2}=2, L_{4}: 2 x^{2}+y^{2}=2$ 为四条逆时针方向的平面曲线． 记 $I_{i}=\oint_{L_{i}}\left(y+\displaystyle\frac{y^{3}}{6}\right) \mathrm{d} x+\left(2 x-\displaystyle\frac{x^{3}}{3}\right) \mathrm{d} y(i=1,2,3,4)$ ，则 $\max \left\{I_{1}, I_{2}, I_{3}, I_{4}\right\}=()$
A
$I_{1}$ ．
B
$I_{2}$ ．
C
$I_{3}$.
D
$I_{4}$ ．
💡 答案解析
**答案**: （D）．
---
**解析**:
如图所示，令 $D_{1}: x^{2}+y^{2} \leqslant 1, D_{2}: x^{2}+y^{2} \leqslant 2$ ，
$$ D_{3}: x^{2}+2 y^{2} \leqslant 2, \quad D_{4}: 2 x^{2}+y^{2} \leqslant 2, $$
由格林公式，得 $I_{1}=\iint_{D_{1}}\left(2-x^{2}-1-\displaystyle\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：将曲线积分化为二重积分
首先，题目中给出的曲线积分形式为 $I_i = \oint_{L_i} P\,dx + Q\,dy$，其中 $P = y + \frac{y^3}{6}$，$Q = 2x - \frac{x^3}{3}$。根据格林公式，对于封闭曲线 $L$ 所围成的区域 $D$，有：
$$\oint_{L} P\,dx + Q\,dy = \iint_{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy.$$
计算偏导数：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(2x - \frac{x^3}{3}\right) = 2 - x^2,$$
$$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(y + \frac{y^3}{6}\right) = 1 + \frac{y^2}{2}.$$
因此，被积函数为：
$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = (2 - x^2) - \left(1 + \frac{y^2}{2}\right) = 1 - x^2 - \frac{y^2}{2}.$$
于是，每个曲线积分 $I_i$ 可化为对应区域 $D_i$ 上的二重积分：
$$I_i = \iint_{D_i} \left(1 - x^2 - \frac{y^2}{2}\right) dx\,dy,$$
其中 $D_i$ 是曲线 $L_i$ 所围成的封闭区域。这样，就将曲线积分问题转化为计算各区域上二重积分的问题。
公式：$$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = 1 - x^2 - \frac{y^2}{2}$$
提示：注意格林公式中P对应dx，Q对应dy，不要混淆。
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