2013年考研数学一第5题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{A}, ~ \boldsymbol{B}, ~ \boldsymbol{C}$ 均为 $n$ 阶矩阵，若 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{B}=\boldsymbol{C}$ ，且 $\boldsymbol{B}$ 可逆，则（）

矩阵 $\mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\mathbf{A}$ 的行向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathbf{A}$ 的列向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的行向量组与矩阵 $\mathbf{B}$ 的行向量组等价。

矩阵 $\mathbf{C}$ 的列向量组与矩阵 $\mathbf{B}$ 的列向量组等价。

💡 答案解析

**答案**: （B）。

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**解析**:

令 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right), \quad \boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right)$ 。由 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ ，即 $\boldsymbol{A}\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right)=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right)$ ，得 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}_{i}=\boldsymbol{\gamma}_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ ，即矩阵 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组可由矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组线性表示。因为 $\boldsymbol{B}$ 可逆，所以 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{C} \boldsymbol{B}^{-1}$ ，即 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组可由 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组线性表示．故 $\boldsymbol{C}$ 的列向量组与 $\boldsymbol{A}$ 的列向量组等价，应选（B）。方法点评：令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right), \boldsymbol{X}=\left(\begin{array}{c}x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n}\end{array}\right), \boldsymbol{b}$ 为列向量，则 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{b}$ 等价于 $x_{1} \boldsymbol{\alpha}_{1}+x_{2} \boldsymbol{\alpha}_{2}+\cdots+x_{n} \boldsymbol{\alpha}_{n}=\boldsymbol{b}$ ，即 $\boldsymbol{b}$ 可由 $\boldsymbol{A}$ 的列向量表示．

令 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\alpha}_{n}\right), \boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\beta}_{n}\right), \boldsymbol{C}=\left(\boldsymbol{\gamma}_{1}, \boldsymbol{\gamma}_{2}, \cdots, \boldsymbol{\gamma}_{n}\right)$ ，则 $\boldsymbol{A B}=\boldsymbol{C}$ 等价于 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{\beta}_{i}=\boldsymbol{\gamma}_{i}(i=1,2, \cdots, n)$ ，即 $\boldsymbol{C}$ 的列向量可由 $\boldsymbol{A}$ 的列向量线性表示．

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：将矩阵按列分块，建立列向量组与矩阵乘法的联系

设矩阵 $B$ 和 $C$ 均为 $n \times n$ 阶矩阵，且满足 $AB = C$。将矩阵 $B$ 和 $C$ 按列分块，记 $B = (\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n)$，$C = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n)$，其中 $\beta_i$ 和 $\gamma_i$（$i=1,2,\dots,n$）均为 $n$ 维列向量。根据矩阵乘法的定义，$AB$ 的第 $j$ 列等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，即 $$A(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (A\beta_1, A\beta_2, \dots, A\beta_n).$$ 由 $AB = C$ 可得 $$(A\beta_1, A\beta_2, \dots, A\beta_n) = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n).$$ 因此，对于每一个 $i=1,2,\dots,n$，有 $$A\beta_i = \gamma_i.$$ 这一步骤将矩阵方程 $AB = C$ 转化为 $n$ 个独立的线性方程组 $A\beta_i = \gamma_i$（$i=1,\dots,n$），从而将原问题转化为研究列向量组 $\beta_1,\dots,\beta_n$ 与 $\gamma_1,\dots,\gamma_n$ 之间的关系。这种按列分块的方法在分析矩阵乘法、线性变换以及矩阵方程的解时非常常用，它把矩阵乘法分解为对每一列向量的线性变换，便于后续利用向量组的线性相关性、秩等性质进行推理。

公式：$$A(\beta_1, \beta_2, \dots, \beta_n) = (A\beta_1, A\beta_2, \dots, A\beta_n) = (\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n)$$

提示：牢记矩阵乘法实质是左乘矩阵对右乘矩阵每一列的线性变换。

步骤 2/4

目标：推导 C 的列向量组可由 A 的列向量组线性表示

已知 $A\beta_i = \gamma_i$，其中 $\beta_i$ 是矩阵 $B$ 的第 $i$ 列，$\gamma_i$ 是矩阵 $C$ 的第 $i$ 列。将矩阵乘法按列展开：$A\beta_i$ 表示 $A$ 的列向量以 $\beta_i$ 的分量为系数的线性组合。设 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$，$\beta_i = (b_{1i}, b_{2i}, \dots, b_{ni})^T$，则 $$ A\beta_i = b_{1i}\alpha_1 + b_{2i}\alpha_2 + \cdots + b_{ni}\alpha_n = \gamma_i. $$ 因此，$C$ 的第 $i$ 列 $\gamma_i$ 可以表示为 $A$ 的列向量组的线性组合，组合系数恰好是 $\beta_i$ 的分量。由于 $i$ 是任意的，故 $C$ 的所有列向量均可由 $A$ 的列向量组线性表示，即 $C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示。

公式：$$\gamma_i = A\beta_i = b_{1i}\alpha_1 + b_{2i}\alpha_2 + \cdots + b_{ni}\alpha_n$$

提示：牢记矩阵乘法 $AB$ 的第 $j$ 列等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列。

步骤 3/4

目标：利用 B 可逆，推导 A 的列向量组可由 C 的列向量组线性表示

已知矩阵 $A$、$B$、$C$ 满足关系 $AB = C$，且 $B$ 是可逆矩阵。根据可逆矩阵的定义，存在 $B^{-1}$ 使得 $BB^{-1}=B^{-1}B=E$（$E$ 为单位矩阵）。在等式 $AB = C$ 两边同时右乘 $B^{-1}$，得到： $$(AB)B^{-1} = C B^{-1}$$ 由矩阵乘法的结合律，左边化为 $A(BB^{-1}) = AE = A$，因此有 $$A = C B^{-1}.$$ 设 $A$ 的列向量组为 $\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n$，$C$ 的列向量组为 $\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_n$，$B^{-1}$ 的元素记为 $(b^{-1})_{ij}$。将矩阵等式 $A = C B^{-1}$ 按列分块，$A$ 的第 $j$ 列 $\alpha_j$ 等于 $C$ 乘以 $B^{-1}$ 的第 $j$ 列，即 $$\alpha_j = C \cdot \begin{pmatrix} (b^{-1})_{1j} \\ (b^{-1})_{2j} \\ \vdots \\ (b^{-1})_{nj} \end{pmatrix} = (b^{-1})_{1j} \gamma_1 + (b^{-1})_{2j} \gamma_2 + \cdots + (b^{-1})_{nj} \gamma_n.$$ 这表明 $A$ 的每一个列向量都是 $C$ 的列向量的线性组合，组合系数就是 $B^{-1}$ 对应列的元素。因此，$A$ 的列向量组可由 $C$ 的列向量组线性表示。

公式：$$A = C B^{-1}$$

提示：右乘逆矩阵时注意顺序，$AB=C$ 右乘 $B^{-1}$ 得 $A=CB^{-1}$。

步骤 4/4

目标：判断向量组等价关系并选择正确选项

由前两步可知，矩阵 $C$ 的列向量组可以由矩阵 $A$ 的列向量组线性表示，同时矩阵 $A$ 的列向量组也可以由矩阵 $C$ 的列向量组线性表示。因此，$A$ 的列向量组与 $C$ 的列向量组等价。根据等价向量组的定义，它们可以互相线性表示，且秩相等。现在分析各选项： - **(A) 向量组 (I) 与 (II) 等价**：向量组 (I) 是 $A$ 的列向量组，向量组 (II) 是 $B$ 的列向量组。由题设条件，$B$ 的列向量组不一定与 $A$ 的列向量组等价，例如取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，则 $C = AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，此时 $A$ 的列向量组与 $C$ 的列向量组等价，但 $B$ 的列向量组与 $A$ 的列向量组不等价（因为秩不同）。故 (A) 错误。 - **(B) 向量组 (I) 与 (III) 等价**：由前两步推导，$C$ 的列向量组可由 $A$ 的列向量组线性表示，且 $A$ 的列向量组也可由 $C$ 的列向量组线性表示，故 (I) 与 (III) 等价。因此 (B) 正确。 - **(C) 向量组 (II) 与 (III) 等价**：向量组 (II) 是 $B$ 的列向量组，向量组 (III) 是 $C$ 的列向量组。由 $C = AB$ 知 $C$ 的列向量组可由 $B$ 的列向量组线性表示，但反之不一定成立。例如取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$，则 $C = AB = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，此时 $C$ 的列向量组可由 $B$ 的列向量组线性表示，但 $B$ 的列向量组不能由 $C$ 的列向量组线性表示（因为 $B$ 的秩为2，$C$ 的秩为1）。故 (C) 错误。 - **(D) 向量组 (I) 与 (II) 等价，且向量组 (I) 与 (III) 等价**：由 (A) 的分析知 (I) 与 (II) 不一定等价，故 (D) 错误。因此，正确选项为 (B)。 **最终答案验证**：根据等价向量组的定义，$A$ 的列向量组与 $C$ 的列向量组互相线性表示，且秩相等，故它们等价。选项 (B) 符合这一结论。

公式：\text{向量组等价} \Leftrightarrow \text{互相线性表示}

提示：注意等价向量组必须互相线性表示，且秩相等。

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