2013年考研数学一第8题

首先，根据$t$分布的定义，若随机变量$X$服从自由度为$n$的$t$分布，则$X$可以表示为： $$X = \frac{U}{\sqrt{V/n}}$$ 其中$U \sim N(0,1)$（标准正态分布），$V \sim \chi^2(n)$（自由度为$n$的卡方分布），且$U$与$V$相互独立。 接下来，考虑$X^2$： $$X^2 = \frac{U^2}{V/n} = \frac{U^2/1}{V/n}$$ 由于$U^2 \sim \chi^2(1)$，即$U^2$服从自由度为$1$的卡方分布，且$U^2$与$V$仍然独立（因为$U$与$V$独立，$U^2$是$U$的函数，故$U^2$与$V$也独立）。 根据$F$分布的定义，若$A \sim \chi^2(m)$，$B \sim \chi^2(k)$且独立，则$\frac{A/m}{B/k} \sim F(m,k)$。这里$A = U^2$，$m=1$；$B=V$，$k=n$。因此： $$X^2 = \frac{U^2/1}{V/n} \sim F(1,n)$$ 题目中定义$Y = X^2$，所以$Y$服从自由度为$(1,n)$的$F$分布，即$Y \sim F(1,n)$。至此，我们建立了$X$与$Y$的关系：$Y = X^2$，且$Y$的分布为$F(1,n)$。

由前几步已知，随机变量$X$服从标准正态分布$N(0,1)$，$Y$服从自由度为$n$的$t$分布，且$c$满足$P\{Y > c\} = \alpha$。根据$t$分布的对称性，有$P\{Y < -c\} = \alpha$。 现在需要计算$P\{Y > c^2\}$。由于$c$是$t$分布的上$\alpha$分位数，且$t$分布关于$y=0$对称，因此$c > 0$（当$\alpha < 0.5$时）。$c^2$是一个正数，且通常$c^2 > c$（因为$c>1$时成立，但即使$c<1$，$c^2$也可能小于$c$，需要仔细分析）。 实际上，对于$t$分布，当$\alpha$较小时，$c$较大，$c^2$远大于$c$，因此$P\{Y > c^2\}$非常小。但题目中给出的选项暗示$P\{Y > c^2\} = 2\alpha$，这需要利用$t$分布与$F$分布的关系。 已知$Y \sim t(n)$，则$Y^2 \sim F(1,n)$。因此事件$\{Y > c^2\}$等价于$\{Y^2 > c^4\}$，但这不是直接有用的。另一种思路：考虑事件$\{|Y| > c\}$，其概率为$P\{|Y| > c\} = P\{Y > c\} + P\{Y < -c\} = \alpha + \alpha = 2\alpha$。而$\{|Y| > c\}$等价于$\{Y^2 > c^2\}$。注意，这里$c$是常数，$c^2$是$c$的平方。 题目中要求的是$P\{Y > c^2\}$，而$c^2$与$c$的关系取决于$c$的大小。但根据$t$分布的性质，当$n$较大时，$t$分布近似标准正态，此时$c$约为$z_\alpha$，而$c^2$远大于$c$，所以$P\{Y > c^2\}$远小于$\alpha$，不可能等于$2\alpha$。 重新审视题目：原题中$c$满足$P\{Y > c\} = \alpha$，而$Y$服从$t$分布。实际上，$c$是$t$分布的上$\alpha$分位数，记作$t_\alpha(n)$。那么$c^2$就是$t_\alpha^2(n)$。而$t_\alpha^2(n) = F_{1-2\alpha}(1,n)$？不，更准确地说，$t$分布与$F$分布的关系是：若$Y \sim t(n)$，则$Y^2 \sim F(1,n)$。因此$P\{Y^2 > c^2\} = P\{F(1,n) > c^2\}$。而$P\{Y > c\} = \alpha$，由对称性$P\{Y < -c\} = \alpha$，所以$P\{|Y| > c\} = 2\alpha$，即$P\{Y^2 > c^2\} = 2\alpha$。 注意：这里$c^2$是$c$的平方，而$Y^2 > c^2$等价于$|Y| > c$。因此$P\{Y^2 > c^2\} = 2\alpha$。但题目要求的是$P\{Y > c^2\}$，不是$P\{Y^2 > c^2\}$。这里存在一个常见的混淆：$c^2$是数值，而$Y^2$是随机变量。 实际上，原题中$c$是常数，$c^2$是另一个常数。由于$t$分布对称，且$c>0$，那么$c^2$可能大于$c$也可能小于$c$。但根据$t$分布的分位数性质，当$\alpha < 0.5$时，$c > 0$，且$c$随着$\alpha$减小而增大。对于较小的$\alpha$，$c$较大，$c^2$更大，因此$P\{Y > c^2\}$小于$\alpha$。但题目选项中有$2\alpha$，这提示我们可能题目中的$c^2$是笔误，或者是指$Y^2$。 根据常见考题，本题实际是求$P\{Y^2 > c^2\}$，即$P\{|Y| > c\} = 2\alpha$。因此最终概率为$2\alpha$，对应选项(C)。 验证：若$Y \sim t(n)$，则$Y^2 \sim F(1,n)$，且$P\{Y^2 > c^2\} = P\{|Y| > c\} = 2\alpha$。故答案为$2\alpha$。