2013年考研数学一第9题

已知函数 $y=f(x)$ 由方程 $y-x = e^{x(1-y)}$ 确定。为了求出 $f(0)$，我们将 $x=0$ 代入原方程。代入后得到： $$y - 0 = e^{0 \cdot (1-y)}$$ 由于 $0 \cdot (1-y) = 0$，且 $e^0 = 1$，因此方程简化为： $$y = 1$$ 所以，当 $x=0$ 时，对应的 $y$ 值为 $1$，即 $f(0)=1$。 这一步骤是后续求导和计算 $f'(0)$ 的基础，因为隐函数求导时需要利用该点的函数值。

已知隐函数方程为 $y - x = e^{x(1-y)}$，其中 $y$ 是 $x$ 的函数。为了求 $\frac{dy}{dx}$，我们需要对方程两边同时对 $x$ 求导。 首先，左边 $y - x$ 对 $x$ 求导： $$\frac{d}{dx}(y - x) = \frac{dy}{dx} - 1.$$ 右边 $e^{x(1-y)}$ 是复合函数，令 $u = x(1-y)$，则 $e^{x(1-y)} = e^u$。根据链式法则： $$\frac{d}{dx}\left(e^{x(1-y)}\right) = e^{x(1-y)} \cdot \frac{d}{dx}\left[x(1-y)\right].$$ 现在对 $x(1-y)$ 求导，注意 $y$ 是 $x$ 的函数，使用乘积法则： $$\frac{d}{dx}\left[x(1-y)\right] = (1-y) \cdot \frac{d}{dx}(x) + x \cdot \frac{d}{dx}(1-y) = (1-y) \cdot 1 + x \cdot \left(-\frac{dy}{dx}\right) = (1-y) - x\frac{dy}{dx}.$$ 因此，右边导数为： $$e^{x(1-y)} \cdot \left[(1-y) - x\frac{dy}{dx}\right].$$ 将左右两边导数相等，得到： $$\frac{dy}{dx} - 1 = e^{x(1-y)} \left[(1-y) - x\frac{dy}{dx}\right].$$ 这就是步骤概要中给出的方程。

由前一步得到的导数方程： $$f'(x) - 1 = e^{x}\left[(y-1) + x\cdot(-f'(x))\right]$$ 其中$y=f(x)$。 现在代入$x=0$，此时$y=f(0)=1$（由初始条件$f(0)=1$）。 计算右边： - $y-1 = 1-1 = 0$ - $x\cdot(-f'(x)) = 0 \cdot (-f'(0)) = 0$ - 括号内为$0+0=0$ - $e^{0}=1$ - 右边整体为$1 \times 0 = 0$ 左边：$f'(0) - 1$ 因此方程化为： $$f'(0) - 1 = 0$$ 解得： $$f'(0) = 1$$

我们已经得到极限表达式 $\lim_{n\to\infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right]$。注意到 $f(0)=1$，因此 $f\left(\frac{1}{n}\right)-1 = f\left(\frac{1}{n}\right)-f(0)$。于是原极限可改写为： $$ \lim_{n\to\infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right] = \lim_{n\to\infty} \frac{f\left(\frac{1}{n}\right)-f(0)}{\frac{1}{n}}. $$ 令 $x = \frac{1}{n}$，则当 $n\to\infty$ 时 $x\to 0^+$，上式化为： $$ \lim_{x\to 0^+} \frac{f(x)-f(0)}{x}. $$ 这正是函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处导数的定义式（右导数）。由题目条件 $f'(0)=1$，可知该极限值为 $1$。因此原极限 $\lim_{n\to\infty} n\left[f\left(\frac{1}{n}\right)-1\right] = 1$。 最终答案验证：将 $f(x)=e^x$ 代入检验，$f(0)=1$，$f'(0)=1$，则 $\lim_{n\to\infty} n(e^{1/n}-1) = \lim_{n\to\infty} \frac{e^{1/n}-1}{1/n} = 1$，与结果一致。