2014年考研数学一第7题

已知条件为$P(A-B)=0.3$，且由前一步骤已得到$P(A-B)=P(A)-P(AB)$。又因为事件$A$与$B$相互独立，所以$P(AB)=P(A)P(B)$。代入$P(B)=0.5$，得$P(AB)=0.5P(A)$。因此，$P(A-B)=P(A)-0.5P(A)=0.5P(A)$。根据已知$P(A-B)=0.3$，建立方程： $$0.5P(A)=0.3$$ 两边同时除以$0.5$，解得： $$P(A)=\frac{0.3}{0.5}=0.6$$ 故事件$A$的概率为$0.6$。

已知事件A的概率为$P(A)=0.6$。根据概率的基本性质，任何事件与其对立事件的概率之和为1，即$P(A)+P(\bar{A})=1$。因此，对立事件$\bar{A}$的概率为： $$P(\bar{A})=1-P(A)=1-0.6=0.4$$ 故所求概率为$0.4$。

本步骤的目标是计算事件$B-A$的概率，并根据计算结果选择正确的选项。 首先，明确事件$B-A$的含义：$B-A = B \cap \bar{A}$，即事件$A$不发生而事件$B$发生。因此，$P(B-A) = P(\bar{A}B)$。 根据题目已知条件，事件$A$与事件$B$相互独立，且$P(A)=0.6$，$P(B)=0.5$。由独立性可知，$\bar{A}$与$B$也相互独立（因为若$A$与$B$独立，则$\bar{A}$与$B$也独立）。 于是，利用独立事件的概率乘法公式： $$P(\bar{A}B) = P(\bar{A}) \cdot P(B)$$ 计算$P(\bar{A})$： $$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0.6 = 0.4$$ 代入公式： $$P(B-A) = 0.4 \times 0.5 = 0.2$$ 因此，$P(B-A)=0.2$。 对照题目给出的四个选项： (A) 0.1 (B) 0.2 (C) 0.3 (D) 0.4 计算所得结果0.2对应选项(B)。 最终答案验证：由于$A$与$B$独立，$P(B-A)=P(B)-P(AB)=0.5-0.6\times0.5=0.5-0.3=0.2$，与上述结果一致，确认无误。故选择(B)。