2005年考研数学一第13题

已知随机变量$X$的分布律为：$P(X=1)=0.4$，$P(X=2)=a$，$P(X=3)=b$，$P(X=4)=0.1$。根据概率的归一性（即所有可能取值的概率之和等于1），可得： $$0.4 + a + b + 0.1 = 1$$ 将常数项合并：$0.4 + 0.1 = 0.5$，因此方程化为： $$0.5 + a + b = 1$$ 移项得： $$a + b = 1 - 0.5 = 0.5$$ 所以，$a$与$b$满足关系式$a + b = 0.5$。这一关系将用于后续步骤中结合其他条件（如数学期望已知）进一步确定$a$和$b$的具体数值。

为了计算事件 $\{X=0\}$ 的概率，我们需要利用已知的联合分布律。事件 $\{X=0\}$ 表示随机变量 $X$ 取值为 0 的所有可能情况，即当 $X=0$ 时，$Y$ 可以取 0 或 1。因此，根据全概率公式，有： $$P\{X=0\} = P(X=0, Y=0) + P(X=0, Y=1).$$ 由题目给出的联合分布表可知，$P(X=0, Y=0) = 0.4$，而 $P(X=0, Y=1) = a$（其中 $a$ 为未知参数）。代入上式得： $$P\{X=0\} = 0.4 + a.$$ 注意，此处 $a$ 的具体数值尚未确定，需要结合后续步骤中其他条件（如概率总和为 1 或边缘分布条件）来求解。本步骤仅完成 $P\{X=0\}$ 的表达式推导。

事件 $\{X+Y=1\}$ 表示随机变量 $X$ 与 $Y$ 的和等于1。由于 $X$ 和 $Y$ 均为离散型随机变量，且根据题目已知的联合分布律，$X$ 的可能取值为0和1，$Y$ 的可能取值为0和1。因此，满足 $X+Y=1$ 的样本点只有两种情况： 1. $X=0$ 且 $Y=1$，其概率记为 $P(X=0,Y=1)=a$； 2. $X=1$ 且 $Y=0$，其概率记为 $P(X=1,Y=0)=b$。 由于这两个事件互不相容（不可能同时发生），根据概率的加法公式，事件 $\{X+Y=1\}$ 的概率等于这两个概率之和： $$P\{X+Y=1\} = P(X=0,Y=1) + P(X=1,Y=0) = a + b.$$ 因此，所求概率即为 $a+b$。

我们需要计算事件$\{X=0\}$与事件$\{X+Y=1\}$同时发生的概率，即$P\{X=0, X+Y=1\}$。 事件$\{X=0\}$表示随机变量$X$取值为0；事件$\{X+Y=1\}$表示$X$与$Y$的和为1。当这两个事件同时发生时，必须同时满足$X=0$且$X+Y=1$。将$X=0$代入$X+Y=1$，得到$0+Y=1$，即$Y=1$。因此，两事件同时发生等价于$(X=0, Y=1)$这一对取值。 根据题目给出的联合分布律，$P\{X=0, Y=1\}$的值记为$a$（题目中已设此概率为$a$）。所以， $$P\{X=0, X+Y=1\} = P\{X=0, Y=1\} = a.$$ 注意：这里没有额外的计算，直接由联合分布律的定义得出结果。

已知随机事件$A$与$B$相互独立，且$P(A)=0.4$，$P(A\cup B)=0.7$，求$P(B)$。 设$P(B)=x$，$P(AB)=y$。由概率的加法公式： $$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+x-y=0.7$$ 解得$y=x-0.3$。 由$A$与$B$相互独立，得$P(AB)=P(A)P(B)$，即$y=0.4x$。 代入$y=x-0.3$得： $$x-0.3=0.4x$$ 移项：$x-0.4x=0.3$，即$0.6x=0.3$，解得$x=0.5$。 因此$P(B)=0.5$，对应选项(B)。 验证：$P(AB)=0.4\times0.5=0.2$，$P(A\cup B)=0.4+0.5-0.2=0.7$，满足条件。