2005年考研数学一第14题

已知总体 $X \sim N(0,1)$，即 $X$ 服从标准正态分布，$X_1, X_2, \ldots, X_n$ 为来自该总体的简单随机样本。样本均值定义为 $\bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i$。 由于 $X_i$ 独立同分布于 $N(0,1)$，根据正态分布的可加性，样本均值 $\bar{X}$ 服从正态分布：$\bar{X} \sim N\left(0, \frac{1}{n}\right)$。这是因为 $E(\bar{X}) = 0$，$D(\bar{X}) = \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n D(X_i) = \frac{1}{n^2} \cdot n = \frac{1}{n}$。 选项A为 $n\bar{X}$。计算其分布：$n\bar{X} = n \cdot \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i = \sum_{i=1}^n X_i$。由于 $X_i \sim N(0,1)$，且相互独立，故 $\sum_{i=1}^n X_i \sim N(0, n)$。即 $n\bar{X} \sim N(0, n)$，其方差为 $n$，不是1，因此不是标准正态分布。标准正态分布要求均值为0、方差为1，而 $n\bar{X}$ 的方差为 $n$，只有当 $n=1$ 时才等于1，但样本容量 $n$ 一般大于1，故选项A不正确。 因此，排除选项A。

分析选项B：$\frac{nS^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n)$。 首先回顾样本方差$S^2$的定义：$S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2$。根据数理统计中的经典结论，对于来自正态总体$N(\mu,\sigma^2)$的样本，有$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，即自由度为$n-1$的卡方分布。 现在考虑选项B中的表达式$\frac{nS^2}{\sigma^2}$。将$S^2$代入可得： $$\frac{nS^2}{\sigma^2} = \frac{n}{\sigma^2} \cdot \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 = \frac{n}{n-1} \cdot \frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}.$$ 由于$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，因此$\frac{nS^2}{\sigma^2}$等于一个$\chi^2(n-1)$随机变量乘以常数$\frac{n}{n-1}$。而卡方分布乘以一个不等于1的常数后，不再服从卡方分布（卡方分布要求系数为1）。具体地，若$Y \sim \chi^2(k)$，则$cY$（$c>0$）服从伽马分布$\Gamma(k/2, 1/(2c))$，只有当$c=1$时才退化为卡方分布。这里$c = \frac{n}{n-1} \neq 1$（$n>1$），所以$\frac{nS^2}{\sigma^2}$不服从$\chi^2(n)$。 因此选项B错误，排除。

选项C为 $\frac{(n-1)\bar{X}}{S}$。我们需要判断该统计量是否服从 $t$ 分布。$t$ 分布的定义为：若 $Z \sim N(0,1)$，$Y \sim \chi^2(\nu)$，且 $Z$ 与 $Y$ 独立，则 $T = \frac{Z}{\sqrt{Y/\nu}} \sim t(\nu)$。 首先分析分子：$\bar{X} \sim N(0, \frac{1}{n})$，因此 $\sqrt{n}\bar{X} \sim N(0,1)$。而选项C的分子是 $(n-1)\bar{X}$，它等于 $\frac{n-1}{\sqrt{n}} \cdot \sqrt{n}\bar{X}$，即 $\frac{n-1}{\sqrt{n}} Z$，其中 $Z \sim N(0,1)$。所以 $(n-1)\bar{X} \sim N(0, \frac{(n-1)^2}{n})$，其标准差为 $\frac{n-1}{\sqrt{n}}$，并不是标准正态分布。 分母为 $S$，即样本标准差。我们知道 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$，但这里 $\sigma=1$，所以 $(n-1)S^2 \sim \chi^2(n-1)$。 若要将分子标准化为标准正态，需要除以 $\frac{n-1}{\sqrt{n}}$，即 $\frac{(n-1)\bar{X}}{(n-1)/\sqrt{n}} = \sqrt{n}\bar{X} \sim N(0,1)$。而分母 $S$ 与 $\sqrt{(n-1)S^2}$ 有关，但 $S = \sqrt{S^2}$，且 $\sqrt{(n-1)S^2} \sim \sqrt{\chi^2_{n-1}}$。 正确的 $t$ 统计量应为 $\frac{\sqrt{n}\bar{X}}{S/\sqrt{n-1}} = \frac{\sqrt{n(n-1)}\bar{X}}{S}$，或等价地 $\frac{\sqrt{n}\bar{X}}{\sqrt{\frac{(n-1)S^2}{n-1}}} = \frac{\sqrt{n}\bar{X}}{S/\sqrt{n-1}}$，但选项C的分子系数是 $(n-1)$ 而不是 $\sqrt{n(n-1)}$，因此不满足 $t$ 分布的形式。 实际上，$\frac{\sqrt{n}\bar{X}}{S} \sim t(n-1)$，而选项C中分子多了一个因子 $(n-1)/\sqrt{n}$，导致其分布不是 $t$ 分布。因此选项C错误。

选项D的表达式为$\frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2}$。已知$X_1 \sim N(0,1)$，故$X_1^2 \sim \chi^2(1)$；又$X_2,\ldots,X_n$独立同分布于$N(0,1)$，因此$\sum_{i=2}^n X_i^2 \sim \chi^2(n-1)$，且$X_1^2$与$\sum_{i=2}^n X_i^2$相互独立。由F分布的定义：若$U \sim \chi^2(m)$，$V \sim \chi^2(n)$且$U$与$V$独立，则$\frac{U/m}{V/n} \sim F(m,n)$。令$U = X_1^2$，$m=1$；$V = \sum_{i=2}^n X_i^2$，$n=n-1$，则$\frac{X_1^2/1}{\sum_{i=2}^n X_i^2/(n-1)} = \frac{(n-1)X_1^2}{\sum_{i=2}^n X_i^2} \sim F(1,n-1)$。因此选项D正确。由于本题要求选出正确的选项，且已确认D正确，故最终答案为D。