2015年考研数学一第8题

已知随机变量$X$与$Y$不相关，即相关系数$\rho_{XY}=0$。根据不相关的定义，相关系数为零等价于协方差为零：$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$。协方差的定义式为$\operatorname{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$。因此，由$\operatorname{Cov}(X,Y)=0$可得： $$E(XY)-E(X)E(Y)=0$$ 即 $$E(XY)=E(X)E(Y)$$ 这一等式是后续计算中简化期望运算的关键。在本题中，我们需要利用这一关系将$E(XY)$分解为两个边缘期望的乘积，从而便于进一步计算$E(X^2Y^2)$等更高阶矩。注意，不相关仅保证线性无关，并不保证独立，因此不能直接使用$E(X^2Y^2)=E(X^2)E(Y^2)$，但$E(XY)=E(X)E(Y)$是成立的。

根据步骤目标，我们需要将期望表达式 $E[X(X+Y-2)]$ 展开为 $E(X^2) + E(XY) - 2E(X)$。 首先，利用期望的线性性质：对于任意随机变量 $X$ 和 $Y$，期望运算满足线性性，即 $E(aX + bY + c) = aE(X) + bE(Y) + c$，其中 $a, b, c$ 为常数。 将括号内的表达式展开： $$X(X+Y-2) = X \cdot X + X \cdot Y - X \cdot 2 = X^2 + XY - 2X.$$ 然后对展开后的表达式取期望： $$E[X(X+Y-2)] = E(X^2 + XY - 2X).$$ 应用期望的线性性质，将期望分配到各项： $$E(X^2 + XY - 2X) = E(X^2) + E(XY) - E(2X).$$ 由于 $2$ 是常数，$E(2X) = 2E(X)$，因此得到： $$E[X(X+Y-2)] = E(X^2) + E(XY) - 2E(X).$$ 至此，期望表达式已成功展开，为后续步骤中代入具体数值或进一步化简做好准备。

本步骤的目标是计算随机变量$X$的平方的数学期望$E(X^2)$。已知在前面的步骤中，我们已经得到了$X$的数学期望$E(X)=2$，以及方差$D(X)=3$。根据方差的基本计算公式：$$D(X)=E(X^2)-[E(X)]^2$$ 这个公式是方差与期望之间的核心关系，适用于任何随机变量。将已知数值代入公式：$$3 = E(X^2) - 2^2$$ 即 $$3 = E(X^2) - 4$$ 移项可得：$$E(X^2) = 3 + 4 = 7$$ 因此，$E(X^2)=7$。这一结果将在后续步骤中用于计算协方差或相关系数等统计量。注意，这里直接利用了方差公式，避免了通过分布列或概率密度函数进行积分或求和计算的繁琐过程，体现了公式法的高效性。

本步骤需要将已知的数值代入表达式 $E(X^2) + E(XY) - 2E(X)$ 中进行计算。 首先，已知条件为： - $E(X^2) = 7$ - $E(XY) = E(X)E(Y) = 2 \times 1 = 2$（因为 $X$ 与 $Y$ 相互独立） - $E(X) = 2$ 将上述数值代入表达式： $$ E(X^2) + E(XY) - 2E(X) = 7 + 2 - 2 \times 2 $$ 先计算乘法：$2 \times 2 = 4$，于是有： $$ 7 + 2 - 4 = 5 $$ 因此，代入数值计算的结果为 $5$。这个结果将用于下一步的方差计算。

根据前四步的推导，我们已计算出题目所求的数值为5。现在需要从四个选项中选出正确的一项。选项为：(A) 3, (B) 4, (C) 6, (D) 5。显然，计算结果5对应选项(D)。为了验证结果的正确性，我们可以进行快速复核：回顾题目条件，利用已知公式和计算过程，确认每一步的代数变形和数值代入无误。例如，若原题涉及行列式或矩阵运算，可重新代入数值检验；若涉及概率或积分，可检查边界条件与连续性。本题中，数值5的得出依赖于前几步的精确计算，且无其他可能取值，因此选项(D)为唯一正确答案。最终答案：D。