2015年考研数学一第9题
📝 题目
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: $-\displaystyle\frac{1}{2}$ ．
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**解析**:
方法一 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln [1+(\cos x-1)]}{x^{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\cos x-1}{x^{2}}=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ． 方法二 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\ln (\cos x)}{x^{2}}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{-\displaystyle\frac{\sin x}{\cos x}}{2 x}=-\displaystyle\frac{1}{2} \displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\sin x}{x} \cdot \displaystyle\frac{1}{\cos x}=-\displaystyle\frac{1}{2}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别极限类型
首先，分析极限表达式 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2}$ 在 $x \to 0$ 时的行为。
1. 考察分子：当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $\ln(\cos x) \to \ln 1 = 0$。
2. 考察分母：$x^2 \to 0$。
因此，该极限为 $\frac{0}{0}$ 型未定式，符合洛必达法则或等价无穷小替换的条件。
为了进一步确认，可以写出：
$$
\lim_{x \to 0} \ln(\cos x) = 0, \quad \lim_{x \to 0} x^2 = 0.
$$
所以极限类型为 $\frac{0}{0}$ 型未定式。
公式：\lim_{x \to 0} \frac{\ln(\cos x)}{x^2} = \frac{0}{0}
提示：注意检查分子分母是否同时趋于0，这是使用洛必达法则的前提。
步骤 2/3
目标：应用等价无穷小替换
本步骤的目标是对极限表达式中的 $\ln(\cos x)$ 进行等价无穷小替换，以便后续化简。首先，将 $\ln(\cos x)$ 改写为 $\ln[1+(\cos x-1)]$ 的形式。当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，因此 $\cos x-1 \to 0$，即 $u = \cos x-1$ 是一个无穷小量。利用等价无穷小替换：当 $u \to 0$ 时，$\ln(1+u) \sim u$。于是有：
$$\ln(\cos x) = \ln[1+(\cos x-1)] \sim \cos x-1 \quad (x \to 0).$$
接下来，进一步将 $\cos x-1$ 用更简单的等价无穷小替换。由三角恒等式 $\cos x - 1 = -2\sin^2\frac{x}{2}$，当 $x \to 0$ 时，$\sin\frac{x}{2} \sim \frac{x}{2}$，因此：
$$\cos x-1 \sim -2\left(\frac{x}{2}\right)^2 = -\frac{x^2}{2}.$$
综合以上两步，得到：
$$\ln(\cos x) \sim -\frac{x^2}{2} \quad (x \to 0).$$
这个替换将原极限中的对数部分转化为一个简单的二次项，为下一步计算极限奠定了基础。注意，替换过程中要确保等价无穷小的使用条件（$u \to 0$）成立，且替换后的表达式在极限运算中可代换。
公式：\ln(\cos x) \sim \cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)
提示：注意 $\ln(1+u) \sim u$ 要求 $u \to 0$，且替换后要保留等价无穷小的主要项。
步骤 3/3
目标：进一步替换并求极限
在第二步中，我们已将原极限转化为 $\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$。现在利用等价无穷小替换：当 $x \to 0$ 时，$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2}$。将这一近似代入极限表达式，得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\frac{x^2}{2}}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}.
$$
因此，原极限的值为 $-\frac{1}{2}$。
**验证**：也可使用洛必达法则验证。对分子分母分别求导：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{-\sin x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-\cos x}{2} = -\frac{1}{2}.
$$
结果一致，确认答案正确。
公式：$$\cos x - 1 \sim -\frac{x^2}{2} \quad (x \to 0)$$
提示：牢记 $x\to0$ 时 $\cos x-1\sim -\frac{x^2}{2}$，可直接代入简化计算。
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