2016年考研数学一第12题

首先，我们需要将函数 $\arctan x$ 在 $x=0$ 处展开为麦克劳林级数，并保留到 $x^3$ 项，即写出 $\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$ 的形式。 我们知道 $\arctan x$ 的导数公式为 $\frac{d}{dx} \arctan x = \frac{1}{1+x^2}$。而 $\frac{1}{1+x^2}$ 可以看作几何级数的和：当 $|x|<1$ 时，有 $\frac{1}{1+x^2} = 1 - x^2 + x^4 - x^6 + \cdots$。 因此，对 $\frac{1}{1+x^2}$ 的展开式从 $0$ 到 $x$ 积分，即可得到 $\arctan x$ 的展开式： $$ \arctan x = \int_0^x \frac{1}{1+t^2} \, dt = \int_0^x \left(1 - t^2 + t^4 - t^6 + \cdots\right) dt. $$ 逐项积分得： $$ \arctan x = \left[ t - \frac{t^3}{3} + \frac{t^5}{5} - \frac{t^7}{7} + \cdots \right]_0^x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots. $$ 由于我们只需要展开到 $x^3$ 项，更高次项可以合并到高阶无穷小 $o(x^3)$ 中。因此，在 $x \to 0$ 时，有 $$ \arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3). $$ 这个展开式是后续计算极限或积分的基础，注意展开的精度要满足后续步骤的需求。

本步骤需要将函数 $\frac{1}{1+ax^2}$ 展开为 $1 - a x^2 + o(x^2)$ 的形式。这是利用几何级数展开公式：当 $|u| < 1$ 时，有 $\frac{1}{1-u} = \sum_{n=0}^{\infty} u^n = 1 + u + u^2 + \cdots$。令 $u = -a x^2$，则 $\frac{1}{1+ax^2} = \frac{1}{1 - (-a x^2)} = \sum_{n=0}^{\infty} (-a x^2)^n$。展开到 $x^2$ 项：$n=0$ 项为 $1$，$n=1$ 项为 $(-a x^2) = -a x^2$，$n=2$ 及更高次项均为 $o(x^2)$（因为 $x^4$ 及更高阶在 $x \to 0$ 时比 $x^2$ 更快趋于0）。因此，$\frac{1}{1+ax^2} = 1 - a x^2 + o(x^2)$。注意：这里 $a$ 为常数，展开式在 $x$ 充分小时成立。

已知$f(x) = \arctan x - \frac{x}{1+ax^2}$，且已得到$\arctan x$和$\frac{x}{1+ax^2}$的展开式。 首先，$\arctan x$的麦克劳林展开式为： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \cdots + (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} + \cdots$$ 取到$x^3$项（含高阶无穷小）： $$\arctan x = x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)$$ 其次，$\frac{x}{1+ax^2}$的展开：利用几何级数公式$\frac{1}{1+u}=1-u+u^2-\cdots$，令$u=ax^2$，则 $$\frac{1}{1+ax^2}=1-ax^2+a^2x^4-\cdots$$ 两边乘以$x$得： $$\frac{x}{1+ax^2}=x - a x^3 + a^2 x^5 - \cdots$$ 取到$x^3$项（含高阶无穷小）： $$\frac{x}{1+ax^2}=x - a x^3 + o(x^3)$$ 将两项代入$f(x)$： $$f(x)=\left(x - \frac{x^3}{3} + o(x^3)\right) - \left(x - a x^3 + o(x^3)\right)$$ 合并同类项： $x$项：$x - x = 0$； $x^3$项：$-\frac{1}{3}x^3 - (-a x^3) = -\frac{1}{3}x^3 + a x^3 = \left(a - \frac{1}{3}\right)x^3$； 高阶无穷小：$o(x^3) - o(x^3) = o(x^3)$。 因此得到$f(x)$的展开式： $$f(x) = \left(a - \frac{1}{3}\right)x^3 + o(x^3)$$ 此展开式表明，当$x\to 0$时，$f(x)$的主部是$x^3$项，系数为$a-\frac{1}{3}$。该结果将用于下一步确定参数$a$的值。

已知函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处的三阶导数 $f'''(0)=1$。在前面的步骤中，我们已经将 $f(x)$ 展开为 $x=0$ 处的泰勒级数，并设 $f(x) = a x^3 + b x^4 + \cdots$，其中 $a$ 是待定系数。根据泰勒展开式，$f(x)$ 在 $x=0$ 处的三阶导数与展开式中 $x^3$ 项的系数关系为： $$f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots$$ 由于 $f(0)=0$，$f'(0)=0$，$f''(0)=0$（由前几步条件得出），因此展开式简化为： $$f(x) = \frac{f'''(0)}{3!} x^3 + \cdots = \frac{1}{6} x^3 + \cdots$$ 另一方面，根据题目中给出的函数形式或之前推导的表达式，我们得到 $f(x)$ 的展开式中 $x^3$ 项的系数为 $a - \frac{1}{3}$（具体推导参见前几步）。因此有等式： $$a - \frac{1}{3} = \frac{f'''(0)}{3!} = \frac{1}{6}$$ 解这个方程： $$a = \frac{1}{3} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} + \frac{1}{6} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$$ 所以 $a = \frac{1}{2}$。 **验证**：将 $a=\frac{1}{2}$ 代入原展开式，计算 $f'''(0)$ 应等于 $3! \times (a - \frac{1}{3}) = 6 \times (\frac{1}{2} - \frac{1}{3}) = 6 \times \frac{1}{6} = 1$，与已知条件一致，结果正确。