若反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} \displaystyle\frac{1}{x^{a}(1+x)^{b}} \mathrm{~d} x$ 收敛，则
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}2(x-1), & x\lt 1 \\ \ln x, & x \geqslant 1,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的一个原函数是
若 $y=\left(1+x^{2}\right)^{2}-\sqrt{1+x^{2}}, y=\left(1+x^{2}\right)^{2}+\sqrt{1+x^{2}}$ 是微分方程 $y^{\prime}+p(x) y=q(x)$ 的两个解，则 $q(x)=$
已知函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x, & x \leqslant 0, \\ \displaystyle\frac{1}{n}, & \displaystyle\frac{1}{n+1}\lt x \leqslant \displaystyle\frac{1}{n}, n=1,2, \cdots,\end{array}\right.$ 则
设 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{B}$ 是可逆矩阵，且 $\boldsymbol{A}$ 与 $\boldsymbol{B}$ 相似，则下列结论错误的是
设二次型 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+4 x_{1} x_{2}+4 x_{1} x_{3}+4 x_{2} x_{3}$ ，则 $f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2$ 在空间直角坐标下表示的二次曲面为
设随机变量 $X \sim N\left(\mu, \sigma^{2}\right)(\sigma\gt 0)$ ，记 $p=P\left\{X \leqslant \mu+\sigma^{2}\right\}$ ，则（
随机试验 $E$ 有三种两两不相容的结果 $A_{1}, A_{2}, A_{3}$ ，且三种结果发生的概率均为 $\displaystyle\frac{1}{3}$ ，将试验 $E$ 独立重复做 2 次，$X$ 表示 2 次试验中结果 $A_{1}$ 发生的次数，$Y$ 表示 2 次试验中结果 $A_{2}$ 发生的次数，则 $X$ 与 $Y$ 的相关系数为
$\displaystyle\lim _{x \rightarrow 0} \displaystyle\frac{\displaystyle\int_{0}^{x} t \ln (1+t \sin t) \mathrm{d} t}{1-\cos x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ．
向量场 $\boldsymbol{A}(x, y, z)=(x+y+z) \boldsymbol{i}+x y \boldsymbol{j}+z \boldsymbol{k}$ 的旋度 $\operatorname{rot} \boldsymbol{A}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(u, v)$ 可微，$z=z(x, y)$ 由方程 $(x+1) z-y^{2}=x^{2} f(x-z, y)$ 确定，则 $\left.\mathrm{d} z\right|_{(0,1)}=$ $\_\_\_\_$ ．
设函数 $f(x)=\arctan x-\displaystyle\frac{x}{1+a x^{2}}$ ，且 $f^{\prime \prime \prime}(0)=1$ ，则 $a=$ $\_\_\_\_$ ．
行列式 $\left|\begin{array}{cccc}\lambda & -1 & 0 & 0 \\ 0 & \lambda & -1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda & -1 \\ 4 & 3 & 2 & \lambda+1\end{array}\right|=$ $\_\_\_\_$
设 $X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 为来自总体 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ 的简单随机样本，样本均值 $\bar{X}=9.5$ ，参数 $\mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间的置信上限为 10.8 ，则 $\mu$ 的置信度为 0.95 的双侧置信区间为 $\_\_\_\$
已知平面区域 $D=\left\{(r, \theta) \mid 2 \leqslant r \leqslant 2(1+\cos \theta),-\displaystyle\frac{\pi}{2} \leqslant \theta \leqslant \displaystyle\frac{\pi}{2}\right\}$ ，计算二重积分 $\iint_{D} x \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ．
设函数 $y(x)$ 满足方程 $y^{\prime \prime}+2 y^{\prime}+k y=0$ ，其中 $0\lt k\lt 1$ ． （I）证明：反常积分 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 收敛； （II）若 $y(0)=1, y^{\prime}(0)=1$ ，求 $\displaystyle\int_{0}^{+\infty} y(x) \mathrm{d} x$ 的值．
设函数 $f(x, y)$ 满足 $\displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial x}=(2 x+1) \mathrm{e}^{2 x-y}$ ，且 $f(0, y)=y+1, L_{t}$ 是从点 $(0,0)$ 到点 $(1, t)$ 的光滑曲线．计算曲线积分 $I(t)=\displaystyle\int_{L_{t}} \displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial x} \mathrm{~d} x+\displaystyle\frac{\partial f(x, y)}{\partial y} \mathrm{~d} y$ ，并求 $I(t)$ 的最小值．
设有界区域 $\Omega$ 由平面 $2 x+y+2 z=2$ 与三个坐标平面围成，$\Sigma$ 为 $\Omega$ 整个表面的外侧，计算曲面积分 $I=\iint_{\Sigma}\left(x^{2}+1\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z-2 y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x+3 z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ 。
已知函数 $f(x)$ 可导，且 $f(0)=1,0\lt f^{\prime}(x)\lt\displaystyle\frac{1}{2}$ 。设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足 $x_{n+1}=f\left(x_{n}\right)(n=1,2, \cdots)$ 。证明： （I）级数 $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(x_{n+1}-x_{n}\right)$ 绝对收敛； （II） $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 存在，且 $0\lt\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}\lt 2$ ．
设矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}1 & -1 & -1 \\ 2 & a & 1 \\ -1 & 1 & a\end{array}\right), \boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{cc}2 & 2 \\ 1 & a \\ -a-1 & -2\end{array}\right)$ ．当 $a$ 为何值时，方程 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\boldsymbol{B}$ 无解、有唯一 解、有无穷多解？在有解时，求解此方程。
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}0 & -1 & 1 \\ 2 & -3 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{array}\right)$ ． （ I）求 $\boldsymbol{A}^{99}$ ； （II）设3阶矩阵 $\boldsymbol{B}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 满足 $\boldsymbol{B}^{2}=\boldsymbol{B} \boldsymbol{A}$ 。记 $\boldsymbol{B}^{100}=\left(\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}\right)$ ，将 $\boldsymbol{\beta}_{1}, \boldsymbol{\beta}_{2}, \boldsymbol{\beta}_{3}$ 分别表示为 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的线性组合。
设二维随机变量 $(X, Y)$ 在区域 $D=\left\{(x, y) \mid 0\lt x\lt 1, x^{2}\lt y\lt\sqrt{x}\right\}$ 上服从均匀分布，令 $U= \begin{cases}1, & X \leqslant Y, \\ 0, & X\gt Y .\end{cases}$ （I）写出 $(X, Y)$ 的概率密度； （II）问 $U$ 与 $X$ 是否相互独立？并说明理由； （III）求 $Z=U+X$ 的分布函数 $F(z)$ 。
设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{3 x^{2}}{\theta^{3}}, & 0\lt x\lt\theta, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$ 。 （I）求 $T$ 的概率密度； （II）确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计。