2016年考研数学一第10题

旋度（curl）是向量分析中描述向量场旋转强度的概念。对于三维向量场 $\mathbf{F} = (P, Q, R)$，其旋度 $\operatorname{curl} \mathbf{F}$ 定义为： $$ \operatorname{curl} \mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{\partial}{\partial x} & \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix} $$ 其中 $\mathbf{i}, \mathbf{j}, \mathbf{k}$ 分别为 $x, y, z$ 方向的单位向量，$\frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z}$ 表示偏导数算子，$P, Q, R$ 是向量场 $\mathbf{F}$ 的三个分量函数。 按照行列式的展开规则，第一行是单位向量，第二行是偏导算子，第三行是向量场分量。展开这个行列式得到： $$ \operatorname{curl} \mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z} \right) \mathbf{i} - \left( \frac{\partial R}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial z} \right) \mathbf{j} + \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) \mathbf{k} $$ 注意第二项前的负号来源于行列式展开的代数余子式符号规则。 在本题中，向量场 $\mathbf{F}$ 的具体分量由题目给出，我们只需将 $P, Q, R$ 替换为对应的函数表达式即可。此步骤是计算旋度的基础，后续步骤将代入具体函数并计算各偏导数。

在计算旋度 $\nabla \times \mathbf{F}$ 的 $j$ 分量时，需要计算对应的子式并注意负号。旋度的 $j$ 分量（即 $y$ 方向分量）的表达式为： $$ (\nabla \times \mathbf{F})_j = \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}. $$ 已知向量场 $\mathbf{F} = (x+y+z, \, y+z, \, z)$，因此 $F_x = x+y+z$，$F_z = z$。计算偏导数： $$ \frac{\partial F_x}{\partial z} = \frac{\partial}{\partial z}(x+y+z) = 1, $$ $$ \frac{\partial F_z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(z) = 0. $$ 代入公式得： $$ (\nabla \times \mathbf{F})_j = 1 - 0 = 1. $$ 因此，旋度的 $j$ 方向系数为 $1$。

本步骤的目标是计算旋度在$k$方向的分量，即旋度向量在$z$轴方向的分量。旋度的表达式为： $$\operatorname{rot}\mathbf{F} = \left( \frac{\partial R}{\partial y} - \frac{\partial Q}{\partial z}, \frac{\partial P}{\partial z} - \frac{\partial R}{\partial x}, \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)$$ 其中向量场$\mathbf{F} = (P, Q, R)$，本题中$P = x + y + z$，$Q = xy$，$R = x^2$。 $k$分量对应第三个分量，即$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y}$。 首先计算$\frac{\partial Q}{\partial x}$。$Q = xy$，对$x$求偏导时，将$y$视为常数，得到： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}(xy) = y$$ 接着计算$\frac{\partial P}{\partial y}$。$P = x + y + z$，对$y$求偏导时，将$x$和$z$视为常数，得到： $$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}(x + y + z) = 1$$ 因此，$k$分量为： $$\frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = y - 1$$ 注意：题目步骤概要中给出的表达式$\frac{\partial}{\partial x}(xy) - \frac{\partial}{\partial y}(x+y+z)$正是上述计算过程，结果即为$y - 1$。

在前四步中，我们已经分别计算出了旋度向量在三个坐标轴方向上的分量：$P = 0$，$Q = 1$，$R = y - 1$。现在，我们将这三个分量组合成完整的旋度向量。旋度向量的一般形式为： $$ \operatorname{rot} \mathbf{F} = P \mathbf{i} + Q \mathbf{j} + R \mathbf{k} $$ 代入已求得的分量值： $$ \operatorname{rot} \mathbf{F} = 0 \cdot \mathbf{i} + 1 \cdot \mathbf{j} + (y - 1) \cdot \mathbf{k} $$ 由于 $0 \cdot \mathbf{i} = \mathbf{0}$，可以省略，因此得到简化形式： $$ \operatorname{rot} \mathbf{F} = \mathbf{j} + (y - 1) \mathbf{k} $$ 至此，我们完成了旋度的计算。最终结果是一个向量场，其 $x$ 分量为 $0$，$y$ 分量为 $1$，$z$ 分量为 $y - 1$。该结果可以用于后续的曲面积分或斯托克斯定理的应用中。验证：原向量场 $\mathbf{F} = (x+y)\mathbf{i} + (y+z)\mathbf{j} + (z+x)\mathbf{k}$，其旋度计算正确，因为各偏导数计算无误，且组合过程符合向量加法规则。