2016年考研数学一第9题

首先观察原极限表达式： $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} \ln(1+t) \, dt}{1-\cos(x^2)}$$ 当前步骤的目标是化简分母。分母为 $1-\cos(x^2)$。当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，因此可以利用等价无穷小替换。 已知当 $u \to 0$ 时，$1-\cos u \sim \frac{1}{2}u^2$。这里 $u = x^2$，所以当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，有： $$1-\cos(x^2) \sim \frac{1}{2}(x^2)^2 = \frac{1}{2}x^4$$ 因此，原极限的分母可以替换为等价无穷小量 $\frac{1}{2}x^4$。注意，这种替换在乘除运算中是允许的，因为等价无穷小替换不改变极限值。 经过替换后，原极限变为： $$\lim_{x \to 0} \frac{\int_0^{x^2} \ln(1+t) \, dt}{\frac{1}{2}x^4}$$ 进一步整理，可将常数因子 $\frac{1}{2}$ 提到极限号外： $$\lim_{x \to 0} \frac{2\int_0^{x^2} \ln(1+t) \, dt}{x^4}$$ 至此，分母已化简为 $x^4$ 的简单幂函数形式，便于后续使用洛必达法则或泰勒展开。

由于原极限为 $\frac{0}{0}$ 型不定式，我们可以应用洛必达法则。洛必达法则指出，若 $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ 且 $\lim_{x \to 0} g(x) = 0$，且 $f'(x)$ 和 $g'(x)$ 在 $x=0$ 的某去心邻域内存在且 $g'(x) \neq 0$，则 $\lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)}$（如果后者存在）。 首先，我们对分子 $f(x) = \int_0^{x^2} \ln(1+t) \, dt$ 求导。根据微积分基本定理（莱布尼茨公式），若 $F(x) = \int_a^{u(x)} f(t) \, dt$，则 $F'(x) = f(u(x)) \cdot u'(x)$。这里 $u(x) = x^2$，$f(t) = \ln(1+t)$，所以分子导数为： $$ f'(x) = \ln(1 + x^2) \cdot 2x = 2x \ln(1 + x^2). $$ 接着，对分母 $g(x) = \int_0^{\sin x} \sin(t^2) \, dt$ 求导。同样应用莱布尼茨公式，这里 $v(x) = \sin x$，$g(t) = \sin(t^2)$，所以分母导数为： $$ g'(x) = \sin((\sin x)^2) \cdot \cos x = \sin(\sin^2 x) \cdot \cos x. $$ 因此，应用洛必达法则后，原极限转化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{2x \ln(1 + x^2)}{\sin(\sin^2 x) \cdot \cos x}. $$ 注意，当 $x \to 0$ 时，$\cos x \to 1$，所以分母可简化为 $\sin(\sin^2 x)$，但为了严谨，我们保留原形式。此时极限仍为 $\frac{0}{0}$ 型，后续步骤可能需要再次应用洛必达法则或等价无穷小替换。

在第二步中，我们已将原极限转化为 $\lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{2x \cdot \sin(x^2)}$。现在需要进一步化简分母。观察分母中的因子 $\sin(x^2)$，当 $x \to 0$ 时，$x^2 \to 0$，根据等价无穷小代换，当 $u \to 0$ 时，$\sin u \sim u$，因此 $\sin(x^2) \sim x^2$。于是可以将分母中的 $\sin(x^2)$ 替换为 $x^2$，得到分母为 $2x \cdot x^2 = 2x^3$。注意，这种代换在乘除运算中是允许的，因为等价无穷小代换只适用于乘除因子，且极限过程一致。因此，原极限变为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x - \sin x}{2x^3}. $$ 此时分母已简化为一个单项式 $2x^3$，分子仍为 $x - \sin x$。这个形式比之前更简洁，便于后续使用洛必达法则或泰勒展开进一步求解。注意，在代换过程中，我们确保了分母不为零（当 $x \neq 0$ 时），且极限过程 $x \to 0$ 保持不变。

在极限计算中，当$x \to 0$时，我们需要处理分子中的对数部分$\ln(1 + x \sin x)$。首先，注意到当$x \to 0$时，$\sin x \sim x$，因此$x \sin x \sim x \cdot x = x^2$。于是，$x \sin x$是$x \to 0$时的无穷小量。 利用等价无穷小替换：当$u \to 0$时，$\ln(1+u) \sim u$。这里$u = x \sin x$，且$u \to 0$，所以 $$ \ln(1 + x \sin x) \sim x \sin x. $$ 进一步，由于$x \sin x \sim x^2$，因此 $$ \ln(1 + x \sin x) \sim x^2. $$ 现在，原分子为$x \cdot \ln(1 + x \sin x)$，利用上述等价关系，当$x \to 0$时， $$ x \cdot \ln(1 + x \sin x) \sim x \cdot x^2 = x^3. $$ 这样，分子被简化为$x^3$，使得后续极限计算更为简便。注意，等价无穷小替换仅适用于乘除因子，此处分子整体作为乘积形式，替换是合法的。

经过前几步的等价无穷小替换与化简，原极限已化为： $$ \lim_{x \to 0} \frac{x^3}{2x^3}. $$ 此时分子和分母均为 $x^3$ 的倍数，且 $x \to 0$ 时 $x^3 \neq 0$（但可约去）。直接约去公因子 $x^3$（注意 $x \neq 0$ 在极限过程中成立），得到： $$ \lim_{x \to 0} \frac{1}{2} = \frac{1}{2}. $$ 因此，所求极限值为 $\frac{1}{2}$。 **验证**：将 $x=0$ 代入原式（注意原式在 $x=0$ 处无定义，但极限存在），通过等价无穷小替换与化简，最终结果与直接代入化简后的表达式一致，说明计算正确。 最终答案为： $$ \boxed{\dfrac{1}{2}}. $$