2016年考研数学一第7题

已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 为均值，$\sigma^2$ 为方差。为了将一般正态分布转化为标准正态分布，我们引入标准化变换：令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$。 首先，标准化变换是线性变换，因此 $Z$ 仍然服从正态分布。接下来计算 $Z$ 的期望和方差： 期望：$E(Z) = E\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma} E(X - \mu) = \frac{1}{\sigma} (E(X) - \mu) = \frac{1}{\sigma} (\mu - \mu) = 0$。 方差：$D(Z) = D\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right) = \frac{1}{\sigma^2} D(X - \mu) = \frac{1}{\sigma^2} D(X) = \frac{1}{\sigma^2} \cdot \sigma^2 = 1$。 因此，$Z$ 的期望为 $0$，方差为 $1$，即 $Z \sim N(0,1)$，为标准正态分布。 这一步骤的意义在于：将一般正态分布的问题转化为标准正态分布的问题，从而可以利用标准正态分布表（或对称性、分位数等性质）进行概率计算。例如，对于任意实数 $a$，有 $P(X \leq a) = P\left(\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{a - \mu}{\sigma}\right) = \Phi\left(\frac{a - \mu}{\sigma}\right)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布函数。 在本题目中，后续步骤将利用这一标准化变换来求解有关概率或统计量的具体问题。

已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，我们需要将概率 $p = P\{X \leq \mu + \sigma^2\}$ 转化为标准正态分布的形式。 首先，对随机变量 $X$ 进行标准化处理。令 $Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$，则 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。 将不等式 $X \leq \mu + \sigma^2$ 两边同时减去 $\mu$，得到： $$X - \mu \leq \sigma^2$$ 再除以 $\sigma$（注意 $\sigma > 0$），得到： $$\frac{X - \mu}{\sigma} \leq \frac{\sigma^2}{\sigma} = \sigma$$ 因此，事件 $\{X \leq \mu + \sigma^2\}$ 等价于事件 $\{Z \leq \sigma\}$。于是： $$p = P\{X \leq \mu + \sigma^2\} = P\{Z \leq \sigma\}$$ 根据标准正态分布的分布函数定义，$P\{Z \leq \sigma\} = \Phi(\sigma)$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。 最终得到： $$p = \Phi(\sigma)$$

本步骤分析概率 $p = \Phi\left(\frac{\sigma_1 - \sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}\right)$ 与参数 $\mu_1, \mu_2, \sigma_1, \sigma_2$ 的关系。首先注意到 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布函数，其函数值完全由自变量决定，而自变量中仅包含 $\sigma_1$ 和 $\sigma_2$，不包含 $\mu_1$ 和 $\mu_2$。因此，$p$ 与均值 $\mu_1, \mu_2$ 无关。 进一步，令 $t = \frac{\sigma_1 - \sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}$，则 $p = \Phi(t)$。由于 $\Phi(\cdot)$ 是单调递增函数，$p$ 随 $t$ 的增大而增大。分析 $t$ 与 $\sigma_1, \sigma_2$ 的关系： 将 $t$ 视为 $\sigma_1$ 的函数，固定 $\sigma_2 > 0$，对 $\sigma_1$ 求导： $$\frac{\partial t}{\partial \sigma_1} = \frac{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} - (\sigma_1 - \sigma_2)\cdot \frac{\sigma_1}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} = \frac{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) - \sigma_1(\sigma_1 - \sigma_2)}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^{3/2}} = \frac{\sigma_2(\sigma_1 + \sigma_2)}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^{3/2}} > 0.$$ 因此 $t$ 是 $\sigma_1$ 的严格增函数，从而 $p$ 随 $\sigma_1$ 增大而增大。 同理，固定 $\sigma_1 > 0$，对 $\sigma_2$ 求导： $$\frac{\partial t}{\partial \sigma_2} = \frac{-\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} - (\sigma_1 - \sigma_2)\cdot \frac{\sigma_2}{\sqrt{\sigma_1^2 + \sigma_2^2}}}{\sigma_1^2 + \sigma_2^2} = \frac{-(\sigma_1^2 + \sigma_2^2) - \sigma_2(\sigma_1 - \sigma_2)}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^{3/2}} = \frac{-\sigma_1(\sigma_1 + \sigma_2)}{(\sigma_1^2 + \sigma_2^2)^{3/2}} < 0.$$ 因此 $t$ 是 $\sigma_2$ 的严格减函数，从而 $p$ 随 $\sigma_2$ 增大而减小。 综上所述，$p$ 仅与 $\sigma_1, \sigma_2$ 有关，且是 $\sigma_1$ 的单调增函数、$\sigma_2$ 的单调减函数，与 $\mu_1, \mu_2$ 无关。

由前几步的分析可知，概率 $p = P\{|X-\mu| < \sigma\}$ 只依赖于标准差 $\sigma$，而与均值 $\mu$ 无关。具体地，$p = \Phi(1) - \Phi(-1) = 2\Phi(1)-1$，这是一个常数。因此，当 $\sigma$ 增大时，$p$ 保持不变，而不是增加。题目中选项（B）说“$p$ 随 $\sigma$ 增加而增加”，这与实际结论矛盾，故（B）错误。实际上，$p$ 与 $\sigma$ 无关，是一个定值。因此，正确选项应为（A）或（C）或（D），但根据前几步的推导，$p$ 与 $\mu$ 无关，所以（A）错误；$p$ 与 $\sigma$ 无关，所以（B）错误；$p$ 与 $\mu$ 无关，所以（C）正确；$p$ 与 $\sigma$ 无关，所以（D）错误。最终答案为（C）。