2016年考研数学一第23题

解答题 · 10分

📝 题目

设总体 $X$ 的概率密度为 $f(x ; \theta)=\left\{\begin{array}{ll}\displaystyle\frac{3 x^{2}}{\theta^{3}}, & 0\lt x\lt\theta, \\ 0, & \text { 其他，}\end{array}\right.$ 其中 $\theta \in(0,+\infty)$ 为末知参数，$X_{1}, X_{2}, X_{3}$ 为来自总体 $X$ 的简单随机样本，令 $T=\max \left\{X_{1}, X_{2}, X_{3}\right\}$ 。 （I）求 $T$ 的概率密度； （II）确定 $a$ ，使得 $a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计。

💡 答案解析

**答案**: 见解析

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**解析**:

（23）解（I）总体 $X$ 的分布函数为

$$ F(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\ \frac{x^3}{\theta^3}, & 0 \leqslant x<\theta, \\ 1, & x \geqslant \theta .\end{cases} $$

从而 $T$ 的分布函数为

$$ F_T(z)=[F(z)]^3= \begin{cases}0, & z<0, \\ \frac{z^9}{\theta^9}, & 0 \leqslant z<\theta, \\ 1, & z \geqslant \theta .\end{cases} $$

所以 $T$ 的概率密度为

$$ f_T(z)= \begin{cases}\frac{9 z^8}{\theta^9}, & 0

（II）$E(T)=\displaystyle\int_{-\infty}^{+\infty} z f_T(z) \mathrm{d} z=\displaystyle\int_0^\theta \displaystyle\frac{9 z^9}{\theta^9} \mathrm{~d} z=\displaystyle\frac{9}{10} \theta$ ，从而 $E(a T)=\displaystyle\frac{9}{10} a \theta$ ． 令 $E(a T)=\theta$ ，得 $a=\displaystyle\frac{10}{9}$ ． 所以当 $a=\displaystyle\frac{10}{9}$ 时，$a T$ 为 $\theta$ 的无偏估计．

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：求总体X的分布函数
已知总体 $X$ 的概率密度函数为 $$f(x)=\begin{cases} \dfrac{3x^2}{\theta^3}, & 0
公式：F(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ \dfrac{x^3}{\theta^3}, & 0\leq x<\theta, \\ 1, & x\geq\theta. \end{cases}
提示：分布函数是概率密度的累积和，务必按定义分段积分，并检查端点连续性。
步骤 2/5
目标：求最大值T的分布函数
设总体分布函数为$F(x)$，样本$X_1,X_2,X_3$独立同分布，最大值$T = \max\{X_1,X_2,X_3\}$。对于任意实数$z$，事件$\{T \leq z\}$等价于所有样本均不超过$z$，即$\{X_1 \leq z, X_2 \leq z, X_3 \leq z\}$。由独立性，最大值$T$的分布函数为： $$F_T(z) = P(T \leq z) = P(X_1 \leq z, X_2 \leq z, X_3 \leq z) = [P(X_1 \leq z)]^3 = [F(z)]^3.$$ 根据题目已知，总体$X$的分布函数为： $$F(x) = \begin{cases} 0, & x < 0, \\ x^2, & 0 \leq x < 1, \\ 1, & x \geq 1. \end{cases}$$ 代入$F_T(z) = [F(z)]^3$，得分段表达式： - 当$z < 0$时，$F(z)=0$，故$F_T(z)=0$； - 当$0 \leq z < 1$时，$F(z)=z^2$，故$F_T(z) = (z^2)^3 = z^6$； - 当$z \geq 1$时，$F(z)=1$，故$F_T(z)=1$。 因此，最大值$T$的分布函数为： $$F_T(z) = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ z^6, & 0 \leq z < 1, \\ 1, & z \geq 1. \end{cases}$$
公式：$$F_T(z) = [F(z)]^3 = \begin{cases} 0, & z < 0, \\ z^6, & 0 \leq z < 1, \\ 1, & z \geq 1. \end{cases}$$
提示：求最大值分布函数时，牢记独立同分布样本的分布函数为$[F(z)]^n$，代入时注意分段区间。
步骤 3/5
目标：求T的概率密度
由步骤2已得到T的分布函数为： $$F_T(z)=\begin{cases} 0, & z\le 0 \\ \dfrac{z^9}{\theta^9}, & 0
公式：f_T(z)=\begin{cases} \dfrac{9z^8}{\theta^9}, & 0
提示：分布函数连续时，概率密度只需在开区间内求导，端点处可任意定义。
步骤 4/5
目标：计算T的数学期望
由步骤3已知，统计量$T = \max\{X_1, X_2, \ldots, X_9\}$的概率密度函数为： $$f_T(z) = \begin{cases} \dfrac{9z^8}{\theta^9}, & 0 < z < \theta, \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$$ 数学期望$E(T)$的定义为： $$E(T) = \int_{-\infty}^{+\infty} z \cdot f_T(z) \, dz = \int_0^\theta z \cdot \frac{9z^8}{\theta^9} \, dz = \frac{9}{\theta^9} \int_0^\theta z^9 \, dz.$$ 计算定积分： $$\int_0^\theta z^9 \, dz = \left[ \frac{z^{10}}{10} \right]_0^\theta = \frac{\theta^{10}}{10}.$$ 代入得： $$E(T) = \frac{9}{\theta^9} \cdot \frac{\theta^{10}}{10} = \frac{9}{10} \theta.$$ 因此，$T$的数学期望为$\dfrac{9}{10}\theta$。该结果说明$T$是$\theta$的有偏估计，因为$E(T) \neq \theta$，但可以通过乘以系数$\frac{10}{9}$得到无偏估计。
公式：E(T) = \int_0^\theta z \cdot \frac{9z^8}{\theta^9} \, dz = \frac{9}{10}\theta
提示：注意积分区间为(0,θ)，被积函数为z乘以密度，不要遗漏z。
步骤 5/5
目标：利用无偏估计条件确定a
本步骤的目标是利用无偏估计的条件确定常数 $a$。由前一步骤已知 $E(T) = \frac{9}{10}\theta$，而构造的估计量 $aT$ 的期望为 $E(aT) = aE(T) = a \cdot \frac{9}{10}\theta$。无偏估计要求估计量的期望等于被估计的参数 $ heta$，即 $E(aT) = \theta$。代入得 $a \cdot \frac{9}{10}\theta = \theta$。由于 $ heta > 0$，两边同时除以 $ heta$ 得 $a \cdot \frac{9}{10} = 1$，解得 $a = \frac{10}{9}$。因此，当 $a = \frac{10}{9}$ 时，$aT$ 是 $ heta$ 的无偏估计。最终答案为 $a = \frac{10}{9}$。
公式：$$a \cdot \frac{9}{10}\theta = \theta \quad \Rightarrow \quad a = \frac{10}{9}$$
提示：无偏估计条件即期望等于真值，代入已知期望直接解出系数。

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