2016年考研数学一第18题

好的，我们先把题目条件理清，再用高斯公式来求解，这样会比较方便。 题目给了一个由平面 \[ 2x + y + 2z = 2 \] 与三个坐标平面围成的有界区域 \(\Omega\)，并且\(\Sigma\)是其整个表面的外侧，我们需要计算曲面积分：

\[ I = \iint_{\Sigma} (x^2 + 1)\, dy\,dz - 2y\, dz\,dx + 3z\, dx\,dy \]

我们会一步步写出过程。

---

**第一步：写出向量形式，并应用高斯公式** 曲面积分可以写作 \[ I = \iint_{\Sigma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S} \] 其中向量场 \[ \mathbf{F} = \big(P, Q, R\big) \] 根据题目给的形式中对应的系数： 对于 \(dy\,dz\) 项对应 \(P\)，\(dz\,dx\)项对应 \(Q\)，\(dx\,dy\) 项对应 \(R\)，于是有 \[ P = x^2 + 1,\quad Q = -2y,\quad R = 3z \]

高斯公式（散度定理）说： \[ \iint_{\Sigma} \mathbf{F}\cdot d\mathbf{S} = \iiint_{\Omega} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) dV \]

所以先计算散度：

\[ \frac{\partial P}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = -2,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = 3 \]

所以 \[ \nabla \cdot \mathbf{F} = 2x - 2 + 3 = 2x + 1 \]

于是： \[ I = \iiint_{\Omega} (2x + 1)\, dV \]

---

**第二步：确定积分区域 \(\Omega\)** \(\Omega\)由平面 \[ 2x + y + 2z = 2 \] 以及三个坐标平面 \(x=0\)，\(y=0\)，\(z=0\) 围成。

平面方程可以解出： - 当 \(y=0, z=0\)，得 \(x=1\) - 当 \(x=0, z=0\)，得 \(y=2\) - 当 \(x=0, y=0\)，得 \(z=1\)

所以这是四面体，顶点为 \((0,0,0)\)、\((1,0,0)\)、\((0,2,0)\)、\((0,0,1)\)。

将其表示为累次积分：可取顺序先对 \(z\)，再对 \(y\)，再对 \(x\)。

由平面得： \[ z = \frac{2 - 2x - y}{2} = 1 - x - \frac{y}{2} \]

于是： - \(x\) 范围：\(0 \le x \le 1\) - 对于固定\(x\)，\(y\)范围：从\(y=0\)到平面与 \(z=0\) 时的交线 \(2x+y=2\)，即 \(y=2-2x\) - 对于固定\(x,y\)，\(z\)范围：从\(0\)到 \(1 - x - y/2\)

所以： \[ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{2-2x} \int_{z=0}^{1 - x - y/2} (2x+1)\, dz\, dy\, dx \]

---

**第三步：分层积分** 先对 \(z\) 积分，\(2x+1\) 与 \(z\) 无关： \[ \int_{0}^{1 - x - y/2} (2x+1)\, dz = (2x+1) \left(1 - x - \frac{y}{2}\right) \]

于是： \[ I = \int_{0}^{1} \int_{0}^{2-2x} (2x+1)\left(1 - x - \frac{y}{2}\right) dy\, dx \]

先对 \(y\) 积分： 固定\(x\)， \[ \int_{0}^{2-2x} (2x+1)\left(1 - x - \frac{y}{2}\right) dy = (2x+1)\left[ (1-x)y - \frac{y^2}{4} \right]_{0}^{2-2x} \]

代入上界 \(y=2-2x\)： 第一项：\((1-x)(2-2x) = (1-x)\cdot 2(1-x) = 2(1-x)^2\) 第二项：\(\frac{(2-2x)^2}{4} = \frac{4(1-x)^2}{4} = (1-x)^2\)

所以括号内结果为 \( 2(1-x)^2 - (1-x)^2 = (1-x)^2\)

因此对 \(y\)积分后得到： \[ (2x+1)(1-x)^2 \]

---

**第四步：对 \(x\) 积分** 于是： \[ I = \int_{0}^{1} (2x+1)(1-x)^2 \, dx \]

展开： \((1-x)^2 = 1 - 2x + x^2\) 乘上\((2x+1)\)： \[ (2x+1)(1 - 2x + x^2) = 2x(1-2x+x^2) + 1(1-2x+x^2) \] 先算第一部分： \(2x - 4x^2 + 2x^3\) 第二部分： \(1 - 2x + x^2\)

相加得： \[ (2x - 4x^2 + 2x^3) + (1 - 2x + x^2) = 1 - 3x^2 + 2x^3 \]

所以： \[ I = \int_{0}^{1} (1 - 3x^2 + 2x^3)\, dx \]

---

**第五步：计算定积分** \[ \int_0^1 1\,dx = 1,\quad \int_0^1 -3x^2\,dx = -1,\quad \int_0^1 2x^3\,dx = \frac{1}{2} \]

加起来： \[ I = 1 - 1 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \]

---

**最终答案为：** \[ \boxed{\frac{1}{2}} \]

这样步骤就很清晰了，先转为三重积分，再按四面体区域顺序积分，就得到结果。