2016年考研数学一第14题

本题涉及正态总体均值的区间估计。已知总体服从正态分布 $N(\mu, \sigma^2)$，且总体标准差 $\sigma$ 已知。我们需要构造总体均值 $\mu$ 的置信水平为 $1-\alpha$ 的置信区间。 根据数理统计理论，当 $\sigma$ 已知时，样本均值 $\bar{X}$ 的抽样分布为 $\bar{X} \sim N(\mu, \frac{\sigma^2}{n})$。对其进行标准化，得到统计量 $Z = \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。 对于标准正态分布，给定显著性水平 $\alpha$，存在上侧分位数 $u_{\alpha/2}$，使得 $P\{|Z| \leq u_{\alpha/2}\} = 1-\alpha$，即 $P\{-u_{\alpha/2} \leq Z \leq u_{\alpha/2}\} = 1-\alpha$。 将 $Z$ 的表达式代入不等式： $$P\left\{-u_{\alpha/2} \leq \frac{\bar{X} - \mu}{\sigma/\sqrt{n}} \leq u_{\alpha/2}\right\} = 1-\alpha$$ 对不等式进行变形，解出 $\mu$： $$P\left\{\bar{X} - u_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \bar{X} + u_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right\} = 1-\alpha$$ 因此，$\mu$ 的 $1-\alpha$ 置信区间为： $$\left( \bar{X} - u_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}},\; \bar{X} + u_{\alpha/2}\cdot\frac{\sigma}{\sqrt{n}} \right)$$ 其中 $\bar{X}$ 为样本均值，$n$ 为样本容量，$u_{\alpha/2}$ 为标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。该公式是区间估计中最基本的形式之一，适用于方差已知的正态总体。

已知置信上限的表达式为 $\overline{X} + u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = 10.8$，且样本均值 $\overline{X} = 9.5$。边际误差 $d$ 定义为 $d = u_{0.025} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，即置信上限与样本均值的差值。因此，将已知数值代入可得： $$d = 10.8 - 9.5 = 1.3$$ 所以，边际误差 $d = 1.3$。这一结果将用于后续步骤中计算样本容量 $n$。

根据前几步的计算，样本均值 $\bar{x} = 9.5$，样本标准差 $s = 2$，样本容量 $n = 16$，置信水平 $1-\alpha = 0.95$，则 $\alpha = 0.05$。由于总体方差未知，使用 $t$ 分布构造置信区间。查 $t$ 分布表得 $t_{\alpha/2}(n-1) = t_{0.025}(15) = 2.1315$。置信区间公式为： $$ \left( \bar{x} - t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}, \; \bar{x} + t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} \right) $$ 代入数值： $$ \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{2}{\sqrt{16}} = \frac{2}{4} = 0.5 $$ $$ t_{\alpha/2}(n-1) \cdot \frac{s}{\sqrt{n}} = 2.1315 \times 0.5 = 1.06575 \approx 1.3 \text{（四舍五入保留一位小数）} $$ 因此置信区间为： $$ (9.5 - 1.3, \; 9.5 + 1.3) = (8.2, 10.8) $$ 最终得到 $\mu$ 的置信度为 $0.95$ 的双侧置信区间为 $(8.2, 10.8)$。验证：区间宽度为 $10.8 - 8.2 = 2.6$，与 $2 \times 1.3 = 2.6$ 一致，计算正确。