2016年考研数学一第15题

首先，回顾题目中的二重积分： $$ \iint_D x \, dxdy $$ 其中积分区域 $D$ 是由曲线 $x^2 + y^2 = 2x$ 所围成的圆盘区域。 为了将积分转化为极坐标形式，我们采用极坐标变换： $$ x = r \cos\theta, \quad y = r \sin\theta $$ 面积元变换为： $$ dxdy = r \, dr d\theta $$ 将 $x$ 和 $dxdy$ 代入原积分，得到： $$ \iint_D x \, dxdy = \iint_D (r \cos\theta) \cdot (r \, dr d\theta) = \iint_D r^2 \cos\theta \, dr d\theta $$ 接下来需要确定极坐标下积分区域 $D$ 的表示。原区域由 $x^2 + y^2 = 2x$ 给出，将其化为极坐标方程： $$ r^2 = 2r \cos\theta \quad \Rightarrow \quad r = 2\cos\theta \quad (r \geq 0) $$ 因此，在极坐标下，$D$ 表示为： $$ 0 \leq r \leq 2\cos\theta, \quad -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2} $$ （注意：$\cos\theta \geq 0$ 时 $r$ 非负，故 $\theta$ 范围取 $[-\pi/2, \pi/2]$） 于是，原二重积分化为极坐标下的累次积分： $$ \iint_D r^2 \cos\theta \, dr d\theta = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2\cos\theta} r^2 \cos\theta \, dr d\theta $$ 至此，我们成功将二重积分转化为极坐标形式，为后续计算做好了准备。

首先，将积分区域$D$用极坐标表示。由题目已知，在极坐标下，$r$的取值范围是从$2$到$2(1+\cos\theta)$，即内边界为圆$r=2$，外边界为心形线$r=2(1+\cos\theta)$。 确定$\theta$的范围：由于积分区域$D$是关于极轴对称的，且心形线$r=2(1+\cos\theta)$在$\theta=-\pi/2$和$\theta=\pi/2$时与圆$r=2$相交。具体地，令$2=2(1+\cos\theta)$，解得$\cos\theta=0$，即$\theta=\pm\frac{\pi}{2}$。因此，$\theta$的取值范围是从$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。 所以，极坐标下的积分区域为： $$ D = \left\{ (r,\theta) \mid -\frac{\pi}{2} \leq \theta \leq \frac{\pi}{2},\; 2 \leq r \leq 2(1+\cos\theta) \right\}. $$ 注意：在极坐标变换中，面积微元$\mathrm{d}x\mathrm{d}y = r\,\mathrm{d}r\mathrm{d}\theta$，后续积分时需乘上$r$。

在极坐标系下，积分区域$D$由曲线$r = 2(1+\cos\theta)$与圆$r = 2$所围成，且位于$x$轴上方（或题目给定区域）。根据极坐标变换，面积元$\mathrm{d}\sigma = r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta$，被积函数$f(x,y) = x$转化为$r\cos\theta$。因此二重积分$\iint_D x\,\mathrm{d}\sigma$在极坐标下为： $$\iint_D r\cos\theta \cdot r\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta = \iint_D r^2\cos\theta\,\mathrm{d}r\,\mathrm{d}\theta.$$ 确定积分限：对于固定的$\theta$，$r$从内边界$r=2$到外边界$r=2(1+\cos\theta)$。$\theta$的范围由区域决定：曲线$r=2(1+\cos\theta)$与圆$r=2$的交点满足$2(1+\cos\theta)=2$，即$\cos\theta=0$，解得$\theta = \pm\frac{\pi}{2}$。由于区域关于$x$轴对称且题目可能限定上半部分（或根据对称性），此处取$\theta$从$-\frac{\pi}{2}$到$\frac{\pi}{2}$。于是累次积分表达式为： $$\int_{\theta=-\pi/2}^{\pi/2} \mathrm{d}\theta \int_{r=2}^{2(1+\cos\theta)} r^2\cos\theta\,\mathrm{d}r.$$ 注意：$\cos\theta$在积分中可视为常数（相对于$r$），因此先对$r$积分时，$\cos\theta$可提到内层积分号外。

在极坐标系下，积分区域由$r$从$2$到$2(1+\cos\theta)$，$\theta$从$0$到$\frac{\pi}{2}$确定。被积函数为$r^2$，因此内层积分（先对$r$积分）为： $$ \int_{2}^{2(1+\cos\theta)} r^2 \, dr $$ 根据幂函数积分公式$\int r^n \, dr = \frac{1}{n+1} r^{n+1}$（$n \neq -1$），这里$n=2$，所以： $$ \int r^2 \, dr = \frac{1}{3} r^3 $$ 代入积分上下限： $$ \left[ \frac{1}{3} r^3 \right]_{2}^{2(1+\cos\theta)} = \frac{1}{3} \left[ (2(1+\cos\theta))^3 - 2^3 \right] $$ 计算立方项： $$ (2(1+\cos\theta))^3 = 2^3 \cdot (1+\cos\theta)^3 = 8 (1+\cos\theta)^3 $$ 而$2^3 = 8$，因此： $$ \frac{1}{3} \left[ 8(1+\cos\theta)^3 - 8 \right] = \frac{8}{3} \left[ (1+\cos\theta)^3 - 1 \right] $$ 所以内层积分的结果为： $$ \int_{2}^{2(1+\cos\theta)} r^2 \, dr = \frac{8}{3} \left[ (1+\cos\theta)^3 - 1 \right] $$ 这个结果将作为下一步外层对$\theta$积分的被积函数。

本步骤需要计算外层对 $\theta$ 的积分。由前一步得到的内层积分结果为 $\frac{8}{3}\cos\theta\left[(1+\cos\theta)^3 - 1\right]$，将其乘以 $\cos\theta$ 后对 $\theta$ 从 $-\pi/2$ 到 $\pi/2$ 积分，即计算： $$ I = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \frac{8}{3} \cos\theta \left[(1+\cos\theta)^3 - 1\right] d\theta. $$ 首先，利用被积函数为偶函数（$\cos\theta$ 为偶函数，$1+\cos\theta$ 也为偶函数），积分区间对称，可将积分化为 $2$ 倍从 $0$ 到 $\pi/2$ 的积分： $$ I = \frac{16}{3} \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \left[(1+\cos\theta)^3 - 1\right] d\theta. $$ 接下来展开 $(1+\cos\theta)^3$： $$ (1+\cos\theta)^3 = 1 + 3\cos\theta + 3\cos^2\theta + \cos^3\theta. $$ 因此， $$ (1+\cos\theta)^3 - 1 = 3\cos\theta + 3\cos^2\theta + \cos^3\theta. $$ 代入积分： $$ I = \frac{16}{3} \int_{0}^{\pi/2} \cos\theta \left(3\cos\theta + 3\cos^2\theta + \cos^3\theta\right) d\theta = \frac{16}{3} \int_{0}^{\pi/2} \left(3\cos^2\theta + 3\cos^3\theta + \cos^4\theta\right) d\theta. $$ 现在分别计算三个积分。 1. 计算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta$：利用倍角公式 $\cos^2\theta = \frac{1+\cos2\theta}{2}$，得 $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos2\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2}\left[\theta + \frac{\sin2\theta}{2}\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\left(\frac{\pi}{2} + 0\right) = \frac{\pi}{4}. $$ 2. 计算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta$：利用 $\cos^3\theta = \cos\theta(1-\sin^2\theta)$，令 $u=\sin\theta$，$du=\cos\theta d\theta$，当 $\theta=0$ 时 $u=0$，$\theta=\pi/2$ 时 $u=1$，则 $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\theta \, d\theta = \int_{0}^{1} (1-u^2) du = \left[u - \frac{u^3}{3}\right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. $$ 3. 计算 $\int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta$：利用倍角公式降幂，$\cos^4\theta = \left(\frac{1+\cos2\theta}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}(1 + 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta)$，再对 $\cos^2 2\theta$ 用倍角公式：$\cos^2 2\theta = \frac{1+\cos4\theta}{2}$，所以 $$ \cos^4\theta = \frac{1}{4}\left(1 + 2\cos2\theta + \frac{1+\cos4\theta}{2}\right) = \frac{1}{4}\left(\frac{3}{2} + 2\cos2\theta + \frac{1}{2}\cos4\theta\right) = \frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta. $$ 积分得 $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^4\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \left(\frac{3}{8} + \frac{1}{2}\cos2\theta + \frac{1}{8}\cos4\theta\right) d\theta = \left[\frac{3}{8}\theta + \frac{1}{4}\sin2\theta + \frac{1}{32}\sin4\theta\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{3}{8} \cdot \frac{\pi}{2} + 0 + 0 = \frac{3\pi}{16}. $$ 将三个结果代入 $I$： $$ I = \frac{16}{3} \left(3 \cdot \frac{\pi}{4} + 3 \cdot \frac{2}{3} + \frac{3\pi}{16}\right) = \frac{16}{3} \left(\frac{3\pi}{4} + 2 + \frac{3\pi}{16}\right). $$ 合并 $\pi$ 项：$\frac{3\pi}{4} = \frac{12\pi}{16}$，所以 $\frac{12\pi}{16} + \frac{3\pi}{16} = \frac{15\pi}{16}$。因此 $$ I = \frac{16}{3} \left(\frac{15\pi}{16} + 2\right) = \frac{16}{3} \cdot \frac{15\pi}{16} + \frac{16}{3} \cdot 2 = \frac{15\pi}{3} + \frac{32}{3} = 5\pi + \frac{32}{3}. $$ 所以外层积分结果为 $5\pi + \frac{32}{3}$。

在前面的步骤中，我们已经将定积分转化为关于参数 $a$ 的表达式，并利用分部积分法或递推关系得到了积分值。本步骤进行最后的化简与数值计算。 设原积分为 $I = \int_0^1 x^2 \ln(1+x) \, dx$。通过分部积分，令 $u = \ln(1+x)$，$dv = x^2 dx$，则 $du = \frac{1}{1+x} dx$，$v = \frac{x^3}{3}$。于是 $$ I = \left[ \frac{x^3}{3} \ln(1+x) \right]_0^1 - \int_0^1 \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{1+x} dx = \frac{1}{3} \ln 2 - \frac{1}{3} \int_0^1 \frac{x^3}{1+x} dx. $$ 计算 $\int_0^1 \frac{x^3}{1+x} dx$。对分子进行多项式除法：$x^3 = (x^2 - x + 1)(1+x) - 1$，因此 $$ \frac{x^3}{1+x} = x^2 - x + 1 - \frac{1}{1+x}. $$ 积分得 $$ \int_0^1 \frac{x^3}{1+x} dx = \int_0^1 (x^2 - x + 1) dx - \int_0^1 \frac{1}{1+x} dx = \left[ \frac{x^3}{3} - \frac{x^2}{2} + x \right]_0^1 - \left[ \ln(1+x) \right]_0^1 = \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2} + 1 \right) - \ln 2 = \frac{5}{6} - \ln 2. $$ 代入 $I$ 的表达式： $$ I = \frac{1}{3} \ln 2 - \frac{1}{3} \left( \frac{5}{6} - \ln 2 \right) = \frac{1}{3} \ln 2 - \frac{5}{18} + \frac{1}{3} \ln 2 = \frac{2}{3} \ln 2 - \frac{5}{18}. $$ 因此，最终结果为 $\frac{2}{3} \ln 2 - \frac{5}{18}$。 验证：取 $\ln 2 \approx 0.6931$，则 $\frac{2}{3} \times 0.6931 - \frac{5}{18} \approx 0.4621 - 0.2778 = 0.1843$。直接数值积分 $\int_0^1 x^2 \ln(1+x) dx$ 也约为 $0.1843$，结果一致。