2016年考研数学一第2题

首先，题目中给出的分段函数为：当$x<1$时，$f(x)=2(x-1)$。我们需要对该部分进行不定积分。 设$F(x)$为$f(x)$的一个原函数，则对于$x<1$，有 $$F(x)=\int f(x)\,dx = \int 2(x-1)\,dx.$$ 将常数因子2提出积分号外： $$F(x)=2\int (x-1)\,dx.$$ 令$u=x-1$，则$du=dx$，积分变为 $$F(x)=2\int u\,du = 2\cdot\frac{u^2}{2}+C_1 = u^2+C_1.$$ 回代$u=x-1$，得到 $$F(x)=(x-1)^2+C_1,$$ 其中$C_1$为任意常数。 因此，对于$x<1$的部分，$f(x)$的原函数形式为$(x-1)^2+C_1$。注意，这里的常数$C_1$将在后续步骤中通过连续性条件确定。

对于 $x \geq 1$ 的部分，被积函数为 $f(x) = \ln x$。我们需要计算不定积分 $\int \ln x \, dx$。使用分部积分法，令 $u = \ln x$，$dv = dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = x$。于是 $$\int \ln x \, dx = x \ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} \, dx = x \ln x - \int 1 \, dx = x \ln x - x + C_2.$$ 整理得 $x(\ln x - 1) + C_2$。因此，对于 $x \geq 1$ 部分，原函数的一个原函数为 $F_2(x) = x(\ln x - 1) + C_2$，其中 $C_2$ 为任意常数。

由于原函数 $F(x)$ 在 $x=1$ 处连续，因此左极限 $\lim_{x \to 1^-} F(x)$ 必须等于右极限 $\lim_{x \to 1^+} F(x)$，且等于 $F(1)$。 首先计算左极限。当 $x \to 1^-$ 时，$x < 1$，应使用 $F(x)$ 在 $x<1$ 的表达式。由前一步已知，在 $x<1$ 时，$F(x) = 0 + C_1$，即 $F(x) = C_1$（常数）。因此左极限为： $$ \lim_{x \to 1^-} F(x) = C_1. $$ 再计算右极限。当 $x \to 1^+$ 时，$x > 1$，应使用 $F(x)$ 在 $x>1$ 的表达式。由前一步已知，在 $x>1$ 时，$F(x) = 1 \cdot (0 - 1) + C_2 = -1 + C_2$。因此右极限为： $$ \lim_{x \to 1^+} F(x) = -1 + C_2. $$ 由连续性条件，左极限等于右极限： $$ C_1 = -1 + C_2. $$ 整理得： $$ C_2 = C_1 + 1. $$ 此关系式将两个常数 $C_1$ 和 $C_2$ 联系起来，为下一步利用 $F(0)=0$ 确定具体数值做好准备。

在前三步中，我们已经得到了函数$f(x)$的原函数$F(x)$的分段表达式，其中包含两个任意常数$C_1$和$C_2$。具体形式为： $$ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + C_1, & x < 0 \\ \frac{1}{2}x^2 + x + C_2, & x \geq 0 \end{cases} $$ 由于原函数在$x=0$处必须连续（因为$f(x)$在$x=0$处有定义且可积，原函数必连续），因此有： $$ \lim_{x \to 0^-} F(x) = \lim_{x \to 0^+} F(x) $$ 代入得： $$ \frac{1}{2} \cdot 0^2 + C_1 = \frac{1}{2} \cdot 0^2 + 0 + C_2 \quad \Rightarrow \quad C_1 = C_2 $$ 所以原函数族为： $$ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2 + C, & x < 0 \\ \frac{1}{2}x^2 + x + C, & x \geq 0 \end{cases} $$ 其中$C$为任意常数。 为了与选项进行比较，我们可以取一个特定的常数。通常取最简单的值，例如取$C=0$，则得到： $$ F(x) = \begin{cases} \frac{1}{2}x^2, & x < 0 \\ \frac{1}{2}x^2 + x, & x \geq 0 \end{cases} $$ 观察四个选项： - (A) $F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2, & x<0 \\ \frac{1}{2}x^2+x+1, & x\geq 0\end{cases}$ - (B) $F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2, & x<0 \\ \frac{1}{2}x^2+x, & x\geq 0\end{cases}$ - (C) $F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2, & x<0 \\ \frac{1}{2}x^2-x, & x\geq 0\end{cases}$ - (D) $F(x)=\begin{cases}\frac{1}{2}x^2+1, & x<0 \\ \frac{1}{2}x^2+x+1, & x\geq 0\end{cases}$ 我们取$C=0$得到的表达式与选项(B)完全一致。但注意，选项(B)中$x\geq0$部分为$\frac{1}{2}x^2+x$，而我们的表达式正是如此。因此，选项(B)是$f(x)$的一个原函数。 然而，题目要求的是“一个原函数”，而选项(B)恰好对应$C=0$的情况。但我们需要验证其他选项是否也是原函数。选项(A)在$x\geq0$部分多了常数1，但原函数可以相差任意常数，因此(A)也是原函数（对应$C=1$）。选项(D)在$x<0$部分多了1，在$x\geq0$部分也多了1，相当于整体加1，也是原函数（对应$C=1$）。选项(C)在$x\geq0$部分为$\frac{1}{2}x^2-x$，其导数为$x-1$，不等于$f(x)$在$x\geq0$时的$x+1$，因此(C)不是原函数。 但题目通常只要求选出正确的选项，而(B)是直接由$C=0$得到的，且形式最简单，故(B)为正确选项。 最终答案：选项(B)。