2017年考研数学一第12题

首先观察所给幂级数：$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^{n-1}$。该级数的通项为 $a_n = (-1)^{n-1} n x^{n-1}$，其中系数含有因子 $n$，而 $x$ 的指数为 $n-1$。这种形式提示我们，如果直接求和会遇到 $n$ 的线性增长，不易直接得到封闭形式。常见的处理技巧是通过积分消去系数中的 $n$，因为积分运算可以将 $x^{n-1}$ 变为 $\frac{x^n}{n}$，从而与系数中的 $n$ 相消。具体地，考虑对原级数逐项积分：令 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^{n-1}$，则积分后得到 $\int_0^x S(t) \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n \int_0^x t^{n-1} \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n \cdot \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n$。这样，系数中的 $n$ 被成功消去，得到一个新的幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n$，这是一个等比级数，其和为 $\frac{x}{1+x}$（当 $|x|<1$ 时）。因此，原级数 $S(x)$ 可以通过对 $\frac{x}{1+x}$ 求导得到。本步骤的关键是识别出级数结构中的 $n$ 因子，并决定采用积分法简化。

设和函数为 $S(x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n x^{n-1}$，其收敛区间为 $(-1,1)$。对 $S(x)$ 从 $0$ 到 $x$ 逐项积分，由于幂级数在收敛区间内可以逐项积分，得到： $$\int_0^x S(t) \, dt = \int_0^x \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n t^{n-1} \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n \int_0^x t^{n-1} \, dt.$$ 计算内层积分： $$\int_0^x t^{n-1} \, dt = \left[ \frac{t^n}{n} \right]_0^x = \frac{x^n}{n}.$$ 代入得： $$\int_0^x S(t) \, dt = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} n \cdot \frac{x^n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n.$$ 因此，逐项积分后的级数为 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n$，这是一个公比为 $-x$ 的等比级数，当 $|x|<1$ 时，其和为 $\frac{x}{1+x}$。于是有： $$\int_0^x S(t) \, dt = \frac{x}{1+x}.$$

本步骤的目标是对级数 $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n$ 求和。首先，观察该级数的通项：$a_n = (-1)^{n-1} x^n$。这是一个等比级数，首项为 $a_1 = (-1)^{0} x^1 = x$，公比为 $q = -x$。因为题目中已给出 $|x|<1$，所以 $|q| = |x| < 1$，级数收敛。 等比级数的求和公式为：当 $|q|<1$ 时，$\sum_{n=1}^{\infty} a_1 q^{n-1} = \frac{a_1}{1-q}$。代入 $a_1 = x$，$q = -x$，得到： $$ \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} x^n = \frac{x}{1 - (-x)} = \frac{x}{1+x}. $$ 因此，在 $|x|<1$ 的条件下，该级数的和为 $\frac{x}{1+x}$。这一结果将用于后续步骤中计算幂级数的和函数。

在前三步中，我们已经将原级数转化为幂级数形式，并得到了和函数表达式为 $S(x)=\frac{x}{1+x}$。现在，根据题目要求，我们需要对 $S(x)$ 求导，以得到最终的和函数形式。 对 $S(x)=\frac{x}{1+x}$ 求导，使用商的求导法则：设 $u=x$，$v=1+x$，则 $u'=1$，$v'=1$。于是 $$ S'(x)=\frac{u'v-uv'}{v^2}=\frac{1\cdot(1+x)-x\cdot1}{(1+x)^2}=\frac{1+x-x}{(1+x)^2}=\frac{1}{(1+x)^2}. $$ 因此，所求的和函数为 $S(x)=\frac{1}{(1+x)^2}$。 最后，验证结果：当 $x=0$ 时，原级数第一项为 $1$，而 $\frac{1}{(1+0)^2}=1$，一致；另外，对 $\frac{1}{(1+x)^2}$ 进行泰勒展开，确实得到 $\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n (n+1)x^n$，与题目所给级数吻合。故结果正确。