2017年考研数学一第13题

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 和矩阵 $A$，我们需要将 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 这三个列向量合并成一个矩阵。根据矩阵乘法的定义，若将三个列向量 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 按列排成矩阵 $B = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，则矩阵 $A$ 与 $B$ 的乘积 $AB$ 的第 $j$ 列恰好等于 $A$ 乘以 $B$ 的第 $j$ 列，即 $A\alpha_j$。因此，我们有： $$ (A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3). $$ 这一步骤将三个独立的线性变换结果统一为一个矩阵乘积的形式，为后续利用矩阵运算（如求秩、行列式等）提供了便利。注意，这里要求 $A$ 的列数必须等于每个 $\alpha_i$ 的行数，否则乘法无定义。在本题中，$A$ 是 $3\times 3$ 矩阵，$\alpha_i$ 是三维列向量，因此乘法可行。

已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 线性无关。根据线性代数理论，由 $n$ 个 $n$ 维向量组成的向量组线性无关的充要条件是这些向量构成的矩阵可逆。这里 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 是三个三维向量，且线性无关，因此矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$ 是一个 $3 \times 3$ 的可逆矩阵。可逆矩阵的行列式不为零，即 $\det(A) \neq 0$。这一性质将在后续步骤中用于简化矩阵运算，例如在求解线性方程组或计算逆矩阵时，可以利用 $A$ 的可逆性将问题转化为 $A^{-1}$ 的运算。具体地，若后续遇到形如 $A \boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$ 的方程，则可直接得到 $\boldsymbol{x} = A^{-1} \boldsymbol{b}$。此外，可逆矩阵的列向量组也是线性无关的，这保证了向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 构成三维空间的一组基，从而任何三维向量都可以唯一地表示为它们的线性组合。

已知矩阵 $A$ 为 $n$ 阶可逆矩阵，向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 为 $n$ 维列向量。考虑向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$，即原向量组左乘可逆矩阵 $A$ 后得到的新向量组。根据矩阵秩的性质：若 $P$ 是可逆矩阵，则 $r(PB) = r(B)$。这里将向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 按列排成矩阵 $B = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，则 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 按列排成的矩阵为 $A(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = AB$。由于 $A$ 可逆，故 $r(AB) = r(B)$，即向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩等于向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的秩。因此，$r(A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3) = r(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$。这一性质表明，左乘可逆矩阵不改变向量组的线性相关性：若原向量组线性无关，则新向量组也线性无关；若原向量组线性相关，则新向量组也线性相关。在本问题中，我们正是利用这一性质，将问题转化为对原向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 秩的讨论，从而简化后续计算。

已知矩阵 $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 3 & 4 \end{pmatrix}$。为了计算矩阵 $A$ 的秩，我们对 $A$ 进行初等行变换，将其化为行阶梯形矩阵。 第一步：将第1行的(-1)倍分别加到第2行和第3行，得到 $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}. $$ 第二步：将第2行的(-2)倍加到第3行，得到 $$ \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ 第三步：将第1行加上第2行的(-1)倍，得到行最简形 $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}. $$ 行阶梯形矩阵的非零行数为2，因此矩阵 $A$ 的秩为 $r(A)=2$。 注意：矩阵的秩等于其行阶梯形中非零行的行数，也等于其列向量组的极大线性无关组所含向量的个数。这里非零行有两行，所以秩为2。

由前几步的推导可知，向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩等于矩阵 $A$ 的秩与向量组 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 的秩之间的关系。具体地，设 $B = (\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3)$，则 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 可表示为 $AB$。根据矩阵秩的性质，有 $\operatorname{rank}(AB) \le \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。 已知 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 是三维列向量，且由题目条件可推出它们线性相关（例如，通过构造齐次线性方程组或利用行列式为零），因此 $\operatorname{rank}(B) < 3$。进一步，通过具体计算或已知条件可得 $\operatorname{rank}(B)=2$。同时，矩阵 $A$ 的秩也为 $2$（例如，$A$ 是 $3\times 3$ 矩阵且其行列式为零，但存在二阶非零子式）。 于是，$\operatorname{rank}(AB) \le 2$。另一方面，由于 $B$ 的列向量张成的空间包含于 $\mathbb{R}^3$ 中，且 $A$ 在此空间上的限制是满射到 $A$ 的列空间，可以证明 $\operatorname{rank}(AB) = \operatorname{rank}(B) = 2$（因为 $A$ 的零空间与 $B$ 的列空间交为零，或者通过具体例子验证）。因此，向量组 $A\alpha_1, A\alpha_2, A\alpha_3$ 的秩为 $2$。 最终答案：$2$。验证：取一组满足条件的 $\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$ 和 $A$，例如 $\alpha_1=(1,0,0)^T,\alpha_2=(0,1,0)^T,\alpha_3=(1,1,0)^T$，$A=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，则 $A\alpha_1=(1,0,0)^T$，$A\alpha_2=(0,1,0)^T$，$A\alpha_3=(1,1,0)^T$，显然这三个向量线性相关且秩为 $2$，与结论一致。