2017年考研数学一第5题

选择题 · 4分

📝 题目

设 $\boldsymbol{\alpha}$ 为 $n$ 维单位列向量， $\boldsymbol{E}$ 为 $n$ 阶单位矩阵，则（）

$\mathbf{E}-\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．

$\mathbf{E}+\mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．

$\mathbf{E}+2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．

$\mathbf{E}-2 \mathbf{\alpha} \mathbf{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆．

💡 答案解析

**答案**: （A）．

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**解析**:

方法一令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^{2}=\boldsymbol{A}$ ，令 $\boldsymbol{A} \boldsymbol{X}=\lambda \boldsymbol{X}$ ，由 $\left(\boldsymbol{A}^{2}-\boldsymbol{A}\right) \boldsymbol{X}=\left(\lambda^{2}-\lambda\right) \boldsymbol{X}=\mathbf{0}$ 得 $\lambda^{2}-\lambda=0, \lambda=0$ 或 $\lambda=1$ ，因为 $\operatorname{tr} \boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\alpha}=1=\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n}$ 得 $\boldsymbol{A}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n-1}=0, \lambda_{n}=1$ ， $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 的特征值为 $\lambda_{1}=\cdots=\lambda_{n-1}=1, \lambda_{n}=0$ ，从而 $\left|\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right|=0$ ，即 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆，应选（A）。

方法二令 $\boldsymbol{A}=\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{A}^{2}=\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right) \cdot\left(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=\boldsymbol{E}-2 \boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}+\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}=\boldsymbol{A}$ ，由 $\boldsymbol{A}(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=\boldsymbol{O}$ 得 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \leqslant n$ ，再由 $r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}) \geqslant r[\boldsymbol{A}+(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})]=r(\boldsymbol{E})=n$ 得

$$ r(\boldsymbol{A})+r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=n, $$

而 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A}=\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}, r(\boldsymbol{E}-\boldsymbol{A})=r\left(\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}\right)=r(\boldsymbol{\alpha})=1$ ，于是 $r(\boldsymbol{A})=n-1\lt n$ ，即 $\boldsymbol{E}-\boldsymbol{\alpha} \boldsymbol{\alpha}^{\mathrm{T}}$ 不可逆，应选（A）．

📋 详细解题步骤

步骤 1/4

目标：分析αα^T的基本性质

设 $\alpha$ 是 $n$ 维单位列向量，即 $\alpha^T\alpha = 1$。令 $A = \alpha \alpha^T$，则 $A$ 是一个 $n \times n$ 矩阵。首先计算 $A^2$： $$A^2 = (\alpha \alpha^T)(\alpha \alpha^T) = \alpha (\alpha^T \alpha) \alpha^T = \alpha \cdot 1 \cdot \alpha^T = \alpha \alpha^T = A.$$ 因此 $A^2 = A$，即 $A$ 是幂等矩阵。其次，计算 $A$ 的迹： $$\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(\alpha \alpha^T) = \operatorname{tr}(\alpha^T \alpha) = \operatorname{tr}(1) = 1.$$ 这里利用了迹的循环性质：$\operatorname{tr}(\alpha \alpha^T) = \operatorname{tr}(\alpha^T \alpha)$。由于 $A$ 是幂等矩阵且迹为1，其非零特征值只能是1，且特征值1的代数重数等于迹，即1。因此 $A$ 的秩为1（幂等矩阵的秩等于迹）。另外，$A$ 是对称矩阵：$A^T = (\alpha \alpha^T)^T = \alpha \alpha^T = A$。综上，$A$ 是一个秩为1的对称幂等矩阵，满足 $A^2=A$，$\operatorname{tr}(A)=1$。

公式：A = \alpha \alpha^T, \quad A^2 = A, \quad \operatorname{tr}(A) = 1, \quad \operatorname{rank}(A) = 1

提示：牢记单位列向量满足 $\alpha^T\alpha=1$，这是推导所有性质的关键。

步骤 3/4

目标：计算各选项矩阵的特征值

已知矩阵 $E \pm k \alpha \alpha^T$，其中 $\alpha$ 是 $n$ 维非零列向量，$k$ 为常数。由于 $\alpha \alpha^T$ 是秩为1的对称矩阵，其特征值为：一个特征值等于 $\alpha^T \alpha$（即 $\|\alpha\|^2$），其余 $n-1$ 个特征值均为0。因此，$E \pm k \alpha \alpha^T$ 的特征值为 $1 \pm k \times (\alpha \alpha^T$ 的特征值$)$。对于选项A：$E - \alpha \alpha^T$，此时 $k=1$。$\alpha \alpha^T$ 的特征值为 $\alpha^T \alpha$ 和 $0$（$n-1$ 重）。故 $E - \alpha \alpha^T$ 的特征值为 $1 - 1 \times (\alpha^T \alpha)$ 和 $1 - 1 \times 0 = 1$（$n-1$ 重）。由于题目中 $\alpha$ 是单位向量，即 $\alpha^T \alpha = 1$，所以第一个特征值为 $1 - 1 = 0$。因此选项A存在0特征值，矩阵不可逆。对于选项B：$E + \alpha \alpha^T$，$k=-1$（注意 $E + \alpha \alpha^T = E - (-1)\alpha \alpha^T$）。特征值为 $1 + 1 \times (\alpha^T \alpha) = 1+1=2$ 和 $1+0=1$（$n-1$ 重），无0特征值，可逆。对于选项C：$E + 2\alpha \alpha^T$，$k=-2$。特征值为 $1 + 2 \times 1 = 3$ 和 $1$（$n-1$ 重），可逆。对于选项D：$E - 2\alpha \alpha^T$，$k=2$。特征值为 $1 - 2 \times 1 = -1$ 和 $1$（$n-1$ 重），无0特征值，可逆。因此，只有选项A的矩阵含有0特征值，不可逆。

公式：E \pm k \alpha \alpha^T \text{ 的特征值为 } 1 \pm k \lambda_i, \text{ 其中 } \lambda_i \text{ 是 } \alpha \alpha^T \text{ 的特征值}

提示：注意 $\alpha$ 是单位向量，$\alpha^T\alpha=1$，这是判断0特征值的关键。

步骤 4/4

目标：判断可逆性并选出答案

矩阵可逆的充要条件是所有特征值均不为零。对于选项A，矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$的特征值为$1,1,0$，存在零特征值，故不可逆。选项B：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$的特征值为$1,1,1$，均非零，可逆。选项C：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$的特征值为$1,1,1$（上三角矩阵，对角元即特征值），均非零，可逆。选项D：矩阵$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}$的特征值为$1,1,1$（下三角矩阵，对角元即特征值），均非零，可逆。因此，只有选项A不可逆，故应选A。

公式：\text{矩阵可逆} \iff \text{所有特征值} \neq 0

提示：三角矩阵的特征值直接看对角元，快速判断可逆性。

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