2017年考研数学一第6题

首先，我们需要分别计算矩阵 $A$、$B$、$C$ 的特征值。题目中给出的矩阵为： $$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \quad C = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.$$ **矩阵 $A$ 的特征值：** 由于 $A$ 是上三角矩阵，其特征值即为主对角线元素：$2, 2, 1$。因此，特征值为 $2$（二重）和 $1$（一重）。 **矩阵 $B$ 的特征值：** $B$ 也是上三角矩阵，主对角线元素为 $2, 2, 1$，故特征值同样为 $2$（二重）和 $1$（一重）。 **矩阵 $C$ 的特征值：** $C$ 是下三角矩阵，主对角线元素为 $2, 2, 1$，因此特征值也是 $2$（二重）和 $1$（一重）。 综上，三个矩阵的特征值完全相同，均为 $\lambda_1 = \lambda_2 = 2$（二重根）和 $\lambda_3 = 1$（单根）。这一步骤为后续判断矩阵是否相似提供了基础。

已知矩阵$A$的特征值为$\lambda_1=2$（二重根）和$\lambda_2=1$（单根）。要判断$A$是否可对角化，需要检查每个特征值的几何重数是否等于代数重数。对于特征值$\lambda=2$，其代数重数为2，因此需要计算其几何重数，即齐次线性方程组$(2E-A)\boldsymbol{x}=0$的解空间维数，也就是$2E-A$的零度，等于$3-\mathrm{rank}(2E-A)$。 计算$2E-A$的秩。已知$A$的具体形式（由题目条件可得），通过行变换或观察可知$2E-A$的秩为1。例如，若$A=\begin{pmatrix}2&0&0\\0&2&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，则$2E-A=\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$，秩为1；若$A$为其他形式，但根据题目条件，$2E-A$的秩均为1。因此，特征值2的几何重数为$3-1=2$，等于其代数重数2。 对于特征值$\lambda=1$，其代数重数为1，几何重数必然为1（因为特征向量至少有一个），故也相等。 因此，矩阵$A$的所有特征值的几何重数均等于代数重数，所以$A$可相似对角化，即存在可逆矩阵$P$使得$P^{-1}AP=\Lambda$，其中$\Lambda$为对角矩阵，且$\Lambda$与矩阵$C$相似（$C$为对角矩阵$\mathrm{diag}(2,2,1)$）。

首先，已知矩阵$B$的特征值为$\lambda_1 = 2$（代数重数为2）和$\lambda_2 = 1$（代数重数为1）。要判断$B$是否可相似对角化，需要检查每个特征值的几何重数是否等于其代数重数。对于特征值$\lambda = 2$，其几何重数为齐次线性方程组$(2E - B)x = 0$的解空间的维数，即$n - \text{rank}(2E - B)$，其中$n=3$。 计算$2E - B$的秩。已知矩阵$B$的具体形式为（由前序步骤给出）： $$B = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 则 $$2E - B = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 对该矩阵进行初等行变换：第一行乘以$-1$得$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$，显然非零行有2行，因此$\text{rank}(2E - B) = 2$。 于是特征值$2$的几何重数为$3 - 2 = 1$，而代数重数为2，两者不相等。因此$B$不可相似对角化。由于矩阵$C$（由题目已知）是可对角化的（例如$C$为对角矩阵或具有3个线性无关的特征向量），故$B$与$C$不相似。

综合前三个步骤的分析，我们已分别判断了矩阵A与C、B与C的相似性。 首先，矩阵A和C的特征值均为$\lambda_1=2$（二重根）和$\lambda_2=1$。对于特征值$\lambda=2$，矩阵$A-2I$的秩为1，因此其几何重数为$3-1=2$，等于代数重数；矩阵$C-2I$的秩也为1，几何重数同样为2。对于特征值$\lambda=1$，$A-I$的秩为2，几何重数为$3-2=1$，等于代数重数；$C-I$的秩也为2，几何重数为1。因此，A与C的每个特征值的代数重数和几何重数均对应相等，故A与C相似。 其次，矩阵B的特征值为$\lambda_1=2$（二重根）和$\lambda_2=1$。对于特征值$\lambda=2$，矩阵$B-2I$的秩为2，几何重数为$3-2=1$，而代数重数为2，几何重数小于代数重数，故B不可对角化。而矩阵C对于$\lambda=2$的几何重数为2，等于代数重数，因此C可对角化。由于相似矩阵具有相同的可对角化性，而B与C的可对角化性不同，故B与C不相似。 综上所述，A与C相似，B与C不相似。因此，正确选项为(B)。 最终答案验证：选项(B)对应“A与C相似，B与C不相似”，与我们的推导完全一致。