2017年考研数学一第7题
📝 题目
设 $A, B$ 为随机事件．若 $0\lt P(A)\lt 1,0\lt P(B)\lt 1$ ，则 $P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ 的充分必要条件是（ ）
A
$P(B \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ ．
B
$P(B \mid A)\lt P(B \mid \bar{A})$ ．
C
$P(\bar{B} \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ ．
D
$P(\bar{B} \mid A)\lt P(B \mid \bar{A})$ ．
💡 答案解析
**答案**: （A）．
---
**解析**:
由 $P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ 得 $\displaystyle\frac{P(A B)}{P(B)}\gt \displaystyle\frac{P(A \bar{B})}{P(\bar{B})}=\displaystyle\frac{P(A)-P(A B)}{1-P(B)}$ ，即 $P(A \mid B)\gt P(A \mid \bar{B})$ 等价于 $P(A B)\gt P(A) P(B)$ ； 由 $P(B \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ 得 $\displaystyle\frac{P(A B)}{P(A)}\gt \displaystyle\frac{P(B)-P(A B)}{1-P(A)}$ ，即 $P(B \mid A)\gt P(B \mid \bar{A})$ 等价于 $P(A B)\gt P(A) P(B)$ ，应选（A）。
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：转化已知条件
已知条件为 $P(A|B) > P(A|\bar{B})$。首先根据条件概率的定义，将两个条件概率用公式展开：
$$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}, \quad P(A|\bar{B}) = \frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}.$$
因此原不等式化为
$$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})}.$$
接下来，利用概率的加法公式与补事件关系进行代换。由于事件 $\bar{B}$ 是 $B$ 的补事件，有 $P(\bar{B}) = 1 - P(B)$。同时，事件 $A\bar{B}$ 表示 $A$ 发生且 $B$ 不发生，根据概率的分解公式，$A$ 可以分解为互不相容的两部分：$A = AB \cup A\bar{B}$，因此 $P(A) = P(AB) + P(A\bar{B})$，从而得到 $P(A\bar{B}) = P(A) - P(AB)$。将这两个关系代入不等式，得到
$$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}.$$
至此，已知条件已转化为仅含 $P(A)$、$P(B)$ 和 $P(AB)$ 的不等式，为后续步骤的推理奠定了基础。
公式：\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}
提示：注意将条件概率展开后，利用事件分解将 $P(A\bar{B})$ 用 $P(A)$ 和 $P(AB)$ 表示。
步骤 2/5
目标：化简已知条件
已知条件为不等式 $P(A|B) > P(A|\overline{B})$。根据条件概率的定义，有 $P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(A|\overline{B}) = \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$。代入原不等式得：
$$
\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}.
$$
由于 $P(B) > 0$ 且 $P(\overline{B}) = 1 - P(B) > 0$（概率非零），可交叉相乘（不等号方向不变）：
$$
P(AB) \cdot P(\overline{B}) > P(A\overline{B}) \cdot P(B).
$$
注意到 $P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，且 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$（因为 $A = AB \cup A\overline{B}$，且 $AB$ 与 $A\overline{B}$ 互斥）。代入得：
$$
P(AB) \cdot [1 - P(B)] > [P(A) - P(AB)] \cdot P(B).
$$
展开两边：
$$
P(AB) - P(AB)P(B) > P(A)P(B) - P(AB)P(B).
$$
两边同时加上 $P(AB)P(B)$，消去相同项：
$$
P(AB) > P(A)P(B).
$$
因此，原不等式等价于 $P(AB) > P(A)P(B)$。由概率论中事件独立性的定义，若 $P(AB) = P(A)P(B)$ 则 $A$ 与 $B$ 独立；此处严格大于，表明事件 $A$ 与 $B$ 正相关，即 $A$ 的发生会增加 $B$ 发生的概率（反之亦然）。
公式：P(AB) > P(A)P(B)
提示：交叉相乘前确认分母不为零，并利用 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$ 简化。
步骤 3/5
目标：转化选项（A）
选项（A）为 $P(B|A) > P(B|\bar{A})$。首先，根据条件概率公式，有 $P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(B|\bar{A}) = \frac{P(B\bar{A})}{P(\bar{A})}$。由于 $P(B\bar{A}) = P(B) - P(AB)$，且 $P(\bar{A}) = 1 - P(A)$，代入不等式得：
$$
\frac{P(AB)}{P(A)} > \frac{P(B) - P(AB)}{1 - P(A)}.
$$
因为 $P(A) > 0$ 且 $1 - P(A) > 0$（$A$ 为随机事件，概率介于0和1之间，且此处条件概率有意义，故 $P(A) \neq 0,1$），两边同乘以 $P(A)(1-P(A))$，不等号方向不变：
$$
P(AB)(1-P(A)) > P(A)(P(B)-P(AB)).
$$
展开得：
$$
P(AB) - P(AB)P(A) > P(A)P(B) - P(A)P(AB).
$$
两边同时加上 $P(A)P(AB)$，化简得：
$$
P(AB) > P(A)P(B).
$$
因此，选项（A）等价于 $P(AB) > P(A)P(B)$，即事件 $A$ 与 $B$ 正相关。这与已知条件（题目中给出的 $P(AB) > P(A)P(B)$）完全一致，故选项（A）正确。
公式：$$\frac{P(AB)}{P(A)} > \frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)} \Rightarrow P(AB) > P(A)P(B)$$
提示：将条件概率转化为乘积形式，利用 $P(B\bar{A})=P(B)-P(AB)$ 简化。
步骤 4/5
目标：验证其他选项
本步骤逐一验证选项（B）、（C）、（D）是否与已知条件 $P(AB) > P(A)P(B)$ 等价。
**选项（B）**：$P(A|B) > P(A|\bar{B})$。
由条件概率公式，$P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(A|\bar{B}) = \frac{P(A\bar{B})}{P(\bar{B})} = \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}$。
不等式 $P(A|B) > P(A|\bar{B})$ 等价于
$$
\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}.
$$
两边乘以正数 $P(B)(1-P(B))$ 得
$$
P(AB)(1-P(B)) > P(B)(P(A)-P(AB)).
$$
展开并整理：
$$
P(AB) - P(AB)P(B) > P(A)P(B) - P(AB)P(B),
$$
消去 $-P(AB)P(B)$ 得 $P(AB) > P(A)P(B)$。
因此选项（B）与已知条件等价，但题目要求选择与已知条件不等价的选项，故（B）不选。
**选项（C）**：$P(\bar{B}|A) > P(\bar{B}|\bar{A})$。
计算：$P(\bar{B}|A) = \frac{P(A\bar{B})}{P(A)} = \frac{P(A)-P(AB)}{P(A)}$，
$P(\bar{B}|\bar{A}) = \frac{P(\bar{A}\bar{B})}{P(\bar{A})} = \frac{1 - P(A) - P(B) + P(AB)}{1 - P(A)}$。
不等式 $P(\bar{B}|A) > P(\bar{B}|\bar{A})$ 等价于
$$
\frac{P(A)-P(AB)}{P(A)} > \frac{1 - P(A) - P(B) + P(AB)}{1 - P(A)}.
$$
两边乘以正数 $P(A)(1-P(A))$ 得
$$
(P(A)-P(AB))(1-P(A)) > P(A)(1 - P(A) - P(B) + P(AB)).
$$
展开左边：$P(A)-P(AB) - P(A)^2 + P(AB)P(A)$；
右边：$P(A) - P(A)^2 - P(A)P(B) + P(A)P(AB)$。
两边同时减去 $P(A) - P(A)^2 + P(A)P(AB)$，得
$$
- P(AB) > - P(A)P(B),
$$
即 $P(AB) < P(A)P(B)$。这与已知条件 $P(AB) > P(A)P(B)$ 相反，故选项（C）与已知条件不等价，应选（C）。
**选项（D）**：$P(B|A) > P(B|\bar{A})$。
计算：$P(B|A) = \frac{P(AB)}{P(A)}$，$P(B|\bar{A}) = \frac{P(\bar{A}B)}{P(\bar{A})} = \frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}$。
不等式 $P(B|A) > P(B|\bar{A})$ 等价于
$$
\frac{P(AB)}{P(A)} > \frac{P(B)-P(AB)}{1-P(A)}.
$$
两边乘以正数 $P(A)(1-P(A))$ 得
$$
P(AB)(1-P(A)) > P(A)(P(B)-P(AB)).
$$
展开：$P(AB) - P(AB)P(A) > P(A)P(B) - P(A)P(AB)$，
消去 $-P(A)P(AB)$ 得 $P(AB) > P(A)P(B)$。
因此选项（D）与已知条件等价，不选。
综上，只有选项（C）与已知条件不等价，故正确答案为（C）。
公式：P(\bar{B}|A) > P(\bar{B}|\bar{A}) \Rightarrow P(AB) < P(A)P(B)
提示：将条件概率不等式转化为事件概率的不等式时，注意分母为正，可直接交叉相乘。
步骤 5/5
目标：得出结论
综合前四个步骤的分析，我们已知条件为：$P(A|B) > P(A|\overline{B})$ 且 $P(B|A) > P(B|\overline{A})$。
首先，由 $P(A|B) > P(A|\overline{B})$ 可得：
$$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}$$
由于 $P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)$，$P(\overline{B}) = 1 - P(B)$，代入并整理得：
$$\frac{P(AB)}{P(B)} > \frac{P(A) - P(AB)}{1 - P(B)}$$
交叉相乘（注意 $P(B)>0$，$1-P(B)>0$）：
$$P(AB)(1-P(B)) > P(B)(P(A)-P(AB))$$
展开：
$$P(AB) - P(AB)P(B) > P(A)P(B) - P(AB)P(B)$$
两边消去 $-P(AB)P(B)$，得：
$$P(AB) > P(A)P(B)$$
即事件 $A$ 与 $B$ 正相关。
类似地，由 $P(B|A) > P(B|\overline{A})$ 可推出 $P(AB) > P(A)P(B)$，两者等价。
现在检查四个选项：
- 选项（A）：$P(B|A) > P(B|\overline{A})$，这正是已知条件之一，与已知条件等价。
- 选项（B）：$P(A|B) < P(A|\overline{B})$，与已知条件相反，排除。
- 选项（C）：$P(\overline{A}|B) > P(A|\overline{B})$，可转化为 $1-P(A|B) > P(A|\overline{B})$，即 $P(A|B) + P(A|\overline{B}) < 1$，这不一定成立，例如当 $P(A)=0.5$，$P(B)=0.5$，$P(AB)=0.4$ 时，$P(A|B)=0.8$，$P(A|\overline{B})=0.2$，和为1，不满足小于1，故（C）不一定成立。
- 选项（D）：$P(\overline{A}|B) > P(A|\overline{B})$，与（C）相同，排除。
因此，只有选项（A）与已知条件等价。
最终答案：
$$\boxed{A}$$
公式：P(AB) > P(A)P(B)
提示：利用条件概率公式转化为乘积形式，比较P(AB)与P(A)P(B)的大小关系。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。