2017年考研数学一第8题

卡方分布是数理统计中一种重要的连续型概率分布，其定义基于标准正态分布。设 $Z_1, Z_2, \ldots, Z_n$ 为相互独立的随机变量，且均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则它们的平方和 $\sum_{i=1}^{n} Z_i^2$ 服从自由度为 $n$ 的卡方分布，记作 $\chi^2(n)$。卡方分布的概率密度函数为： $$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{2^{n/2} \Gamma(n/2)} x^{n/2 - 1} e^{-x/2}, & x > 0 \\ 0, & x \leq 0 \end{cases}$$ 其中 $\Gamma(\cdot)$ 为伽马函数。 关键性质： 1. 若 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，则标准化变换 $\frac{X - \mu}{\sigma} \sim N(0,1)$，其平方 $\left(\frac{X - \mu}{\sigma}\right)^2 \sim \chi^2(1)$。 2. 可加性：若 $X \sim \chi^2(m)$，$Y \sim \chi^2(n)$ 且相互独立，则 $X+Y \sim \chi^2(m+n)$。 3. 期望与方差：若 $X \sim \chi^2(n)$，则 $E(X)=n$，$D(X)=2n$。 4. 卡方分布与正态分布的关系：设 $X_1, X_2, \ldots, X_n$ 独立同分布于 $N(\mu, \sigma^2)$，则样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i - \bar{X})^2$ 满足 $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。 在本题中，我们需要利用卡方分布的定义和性质来构造统计量并判断其分布。

已知总体 $X \sim N(\mu, 1)$，样本 $X_1, X_2, \dots, X_n$ 独立同分布。对于选项A，考虑统计量 $\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2$。 由于每个 $X_i \sim N(\mu, 1)$，对其进行标准化：令 $Y_i = X_i - \mu$，则 $Y_i \sim N(0, 1)$，且 $Y_1, Y_2, \dots, Y_n$ 相互独立。 根据卡方分布的定义：若 $Z_1, Z_2, \dots, Z_n$ 相互独立且均服从标准正态分布 $N(0,1)$，则它们的平方和服从自由度为 $n$ 的卡方分布，即 $\sum_{i=1}^{n} Z_i^2 \sim \chi^2(n)$。 因此，$\sum_{i=1}^{n} (X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^{n} Y_i^2 \sim \chi^2(n)$。 故选项A正确。

选项C为 $\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$。由于总体 $X \sim N(0,1)$，即总体方差 $\sigma^2=1$，样本方差 $S^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2$ 是总体方差的无偏估计。根据抽样分布理论，$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2} \sim \chi^2(n-1)$。代入 $\sigma^2=1$，得 $(n-1)S^2 = \sum_{i=1}^{n}(X_i-\bar{X})^2 \sim \chi^2(n-1)$。因此，选项C的统计量服从自由度为 $n-1$ 的卡方分布，选项C正确。

选项D为$n(\bar{X}-\mu)^2$。已知$X_1,X_2,\ldots,X_n$是来自总体$N(\mu,1)$的简单随机样本，样本均值$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{1}{n})$。对$\bar{X}$进行标准化：$\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)\sim N(0,1)$。根据卡方分布的定义，若$Z\sim N(0,1)$，则$Z^2\sim \chi^2(1)$。因此，$n(\bar{X}-\mu)^2 = [\sqrt{n}(\bar{X}-\mu)]^2 \sim \chi^2(1)$。故选项D正确。本题要求选出服从卡方分布的随机变量，选项D符合条件。最终答案：D。