2018年考研数学一第18题

将 $f(x)=x$ 代入原方程，得到一阶线性非齐次微分方程： $$y' + y = x + 1$$ 首先求解对应的齐次方程 $y' + y = 0$。分离变量得 $\frac{dy}{y} = -dx$，积分得 $\ln|y| = -x + C$，即齐次通解为 $y_h = Ce^{-x}$。 使用常数变易法，设非齐次方程的解为 $y = C(x)e^{-x}$，代入原方程： $$y' = C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x}$$ 代入 $y' + y = x + 1$ 得： $$C'(x)e^{-x} - C(x)e^{-x} + C(x)e^{-x} = x + 1$$ 化简得 $C'(x)e^{-x} = x + 1$，即 $C'(x) = (x+1)e^x$。 积分得： $$C(x) = \int (x+1)e^x dx = \int x e^x dx + \int e^x dx$$ 利用分部积分 $\int x e^x dx = x e^x - e^x + C_1$，所以 $$C(x) = (x e^x - e^x) + e^x + C = x e^x + C$$ 因此非齐次方程的通解为： $$y = C(x)e^{-x} = (x e^x + C)e^{-x} = Ce^{-x} + x$$ 注意：原方程为 $y' + y = x + 1$，我们求出的特解为 $x$，但代入验证：$(x)' + x = 1 + x$，正确。实际上，更常见的写法是 $y = Ce^{-x} + x - 1$？让我们重新检查： 原方程 $y' + y = x + 1$，设特解为 $y_p = Ax + B$，代入得 $A + Ax + B = x + 1$，比较系数得 $A = 1$，$A + B = 1$，所以 $B = 0$，特解为 $y_p = x$。因此通解应为 $y = Ce^{-x} + x$。 但题目步骤概要中给出的结果是 $y = Ce^{-x} + x - 1$，说明原方程可能为 $y' + y = x$？让我们核对：题目中 $f(x)=x$ 代入后方程应为 $y' + y = x$（因为原方程是 $y' + y = f(x) + 1$？）。根据步骤概要，正确方程应为 $y' + y = x$，则齐次解相同，特解设为 $y_p = Ax + B$，代入得 $A + Ax + B = x$，比较得 $A=1$，$A+B=0$，所以 $B=-1$，特解为 $y_p = x - 1$，通解为 $y = Ce^{-x} + x - 1$。 因此，最终通解为： $$y = Ce^{-x} + x - 1$$ 其中 $C$ 为任意常数。

第二问中的微分方程为 $y' + y = f(x)$，其中 $f(x)$ 为已知连续函数。这是一个一阶线性非齐次微分方程，标准形式为 $y' + P(x)y = Q(x)$。这里 $P(x) = 1$，$Q(x) = f(x)$。 一阶线性微分方程的通解公式为： $$ y = e^{-\int P(x) \, dx} \left( C + \int Q(x) e^{\int P(x) \, dx} \, dx \right) $$ 首先计算积分因子 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx} = e^{\int 1 \, dx} = e^{x}$。 代入通解公式： $$ y = e^{-\int 1 \, dx} \left( C + \int f(x) e^{\int 1 \, dx} \, dx \right) = e^{-x} \left( C + \int f(x) e^{x} \, dx \right) $$ 题目中要求将积分下限取为 $0$，即写成从 $0$ 到 $x$ 的变上限积分形式： $$ y = e^{-x} \left[ C + \int_0^x e^{t} f(t) \, dt \right] $$ 其中 $C$ 为任意常数。这个形式便于后续利用初始条件 $y(0)=0$ 确定常数 $C$。代入 $x=0$ 得 $y(0)=e^{0}[C+0]=C$，由 $y(0)=0$ 可得 $C=0$，从而得到特解。

设$y(x)$以$T$为周期，则满足$y(x+T)=y(x)$。将通解表达式$y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left[\int Q(x)e^{\int P(x)dx}dx + C\right]$代入周期条件。 首先，记$F(x)=\int P(x)dx$，则通解可写为$y(x)=e^{-F(x)}\left[\int Q(x)e^{F(x)}dx + C\right]$。 由$y(x+T)=y(x)$得： $$e^{-F(x+T)}\left[\int^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] = e^{-F(x)}\left[\int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right]$$ 由于$P(x)$以$T$为周期，$F(x+T)=F(x)+\int_x^{x+T}P(t)dt$。设$\int_0^T P(t)dt = A$，则$F(x+T)=F(x)+A$。 代入上式： $$e^{-F(x)-A}\left[\int^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] = e^{-F(x)}\left[\int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right]$$ 两边乘以$e^{F(x)}$得： $$e^{-A}\left[\int^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] = \int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C$$ 将积分拆分为$\int^{x+T}=\int^x + \int_x^{x+T}$，则： $$e^{-A}\left[\int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + \int_x^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] = \int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C$$ 整理得： $$(e^{-A}-1)\left[\int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] + e^{-A}\int_x^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt = 0$$ 由于$\int_x^{x+T} Q(t)e^{F(t)}dt$与$x$无关（因为被积函数以$T$为周期），记$K=\int_0^T Q(t)e^{F(t)}dt$，则上式化为： $$(e^{-A}-1)\left[\int^{x} Q(t)e^{F(t)}dt + C\right] + e^{-A}K = 0$$ 为使该式对所有$x$成立，必须$e^{-A}-1=0$且$e^{-A}K=0$，即$A=0$且$K=0$。 因此，周期条件等价于： $$\int_0^T P(t)dt = 0, \quad \int_0^T Q(t)e^{\int P(t)dt}dt = 0$$ 此时，$C$可取任意常数，通解即为周期解。

由周期条件 $y(x+T)=y(x)$ 代入通解表达式。设通解为 $y(x)=e^{-\int P(x)dx}\left(\int e^{\int P(x)dx}Q(x)dx + C\right)$，其中 $P(x),Q(x)$ 以 $T$ 为周期。令 $\Phi(x)=e^{\int_0^x P(t)dt}$，则 $\Phi(x+T)=e^{\int_0^{x+T}P(t)dt}=e^{\int_0^x P(t)dt+\int_x^{x+T}P(t)dt}=e^{\int_0^x P(t)dt+\int_0^T P(t)dt}=e^{\int_0^T P(t)dt}\Phi(x)$。记 $\mu=e^{\int_0^T P(t)dt}$，则 $\Phi(x+T)=\mu\Phi(x)$。 通解可写为 $y(x)=\frac{1}{\Phi(x)}\left(\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C\right)$。周期条件 $y(x+T)=y(x)$ 给出： $$\frac{1}{\Phi(x+T)}\left(\int_0^{x+T} \Phi(t)Q(t)dt + C\right)=\frac{1}{\Phi(x)}\left(\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C\right).$$ 代入 $\Phi(x+T)=\mu\Phi(x)$，并利用 $\int_0^{x+T}=\int_0^T+\int_T^{x+T}$，令 $u=t-T$ 得 $\int_T^{x+T}\Phi(t)Q(t)dt=\int_0^x \Phi(u+T)Q(u+T)du=\mu\int_0^x \Phi(u)Q(u)du$（因为 $Q$ 周期）。于是左边分子为 $\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt + \mu\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C$。方程化为： $$\frac{1}{\mu\Phi(x)}\left(\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt + \mu\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C\right)=\frac{1}{\Phi(x)}\left(\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C\right).$$ 两边乘以 $\Phi(x)$ 得： $$\frac{1}{\mu}\left(\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt + \mu\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C\right)=\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C.$$ 整理得： $$\frac{1}{\mu}\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt + \int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + \frac{C}{\mu}=\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + C.$$ 消去 $\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt$，得 $\frac{1}{\mu}\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt + \frac{C}{\mu}=C$，即 $C\left(1-\frac{1}{\mu}\right)=\frac{1}{\mu}\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt$。 若 $\mu\neq1$，则 $C=\frac{\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt}{\mu-1}$。由于 $\Phi(t)=e^{\int_0^t P(s)ds}$，$\mu=e^{\int_0^T P(t)dt}$，且 $P$ 连续，$\int_0^T P(t)dt$ 为常数，故 $\mu$ 为常数。$\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt$ 由 $f$（即 $Q$）唯一确定，因此 $C$ 唯一确定，从而存在唯一的以 $T$ 为周期的解。 若 $\mu=1$，则周期条件要求 $\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt=0$，此时 $C$ 任意，解不唯一，但题目隐含 $\mu\neq1$ 的情形（通常 $\int_0^T P(t)dt\neq0$），故结论成立。 最终，存在唯一的 $T$ 周期解 $y(x)=\frac{1}{\Phi(x)}\left(\int_0^x \Phi(t)Q(t)dt + \frac{\int_0^T \Phi(t)Q(t)dt}{\mu-1}\right)$。