2018年考研数学一第19题
📝 题目
设数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 满足：$x_{1}\gt 0, x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1(n=1,2, \cdots)$ 。证明数列 $\left\{x_{n}\right\}$ 收敛，并求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}$ 。
💡 答案解析
**答案**: 见解析
---
**解析**:
因为 $x_{1} \neq 0$ ，所以 $\mathrm{e}^{x_{2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}-1}{x_{1}}$ ． 由微分中值定理，存在 $\xi \in\left(0, x_{1}\right)$ ，使得 $\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{1}}-1}{x_{1}}=\mathrm{e}^{\xi}$ ，即 $\mathrm{e}^{x_{2}}=\mathrm{e}^{\xi}$ ，因此 $0\lt x_{2}\lt x_{1}$ ． 假设 $0\lt x_{n+1}\lt x_{n}$ ，则 $\mathrm{e}^{x_{n+2}}=\displaystyle\frac{\mathrm{e}^{x_{n+1}}-1}{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{\eta}\left(0\lt \eta\lt x_{n+1}\right)$ ，得 $0\lt x_{n+2}\lt x_{n+1}$ 。故 $\left\{x_{n}\right}$ 是单调减少的数列，且有下界，从而 $\left\{x_{n}\right}$ 收敛。 设 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=a$ ，在等式 $x_{n} \mathrm{e}^{x_{n+1}}=\mathrm{e}^{x_{n}}-1$ 两边取极限，得 $a \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{a}-1$ ，显然 $a=0$ 为其解． 又令 $f(x)=x \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{x}+1$ ，则 $f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^{x}$ ． 当 $x\gt 0$ 时，$f^{\prime}(x)=x \mathrm{e}^{x}\gt 0$ ，函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 上单调增加， 所以 $a=0$ 是方程 $a \mathrm{e}^{a}=\mathrm{e}^{a}-1$ 在 $[0,+\infty)$ 上的唯一解，故 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} x_{n}=0$ ．