2005年考研数学一第1题
📝 题目
曲线 $y=\displaystyle\frac{x^{2}}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**: $y=\displaystyle\frac{1}{2} x-\displaystyle\frac{1}{4}$ ．
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**解析**:
由 $\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{y}{x}=\displaystyle\lim _{x \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{x^{2}}{x(2 x+1)}=\displaystyle\frac{1}{2}$ ，
$$ \lim _{x \rightarrow \infty}\left(y-\frac{1}{2} x\right)=\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{x^{2}}{2 x+1}-\frac{x}{2}\right)=\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{-x}{2(2 x+1)}=-\frac{1}{4}, $$
得曲线 $y=\displaystyle\frac{x^{2}}{2 x+1}$ 的斜渐近线方程为 $y=\displaystyle\frac{1}{2} x-\displaystyle\frac{1}{4}$ ．
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算斜率k
首先，我们需要计算渐近线的斜率 $k$。对于曲线 $y = \frac{x^2}{2x+1}$，当 $x \to \infty$ 时，斜渐近线的斜率定义为 $k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x}$。将 $y$ 的表达式代入，得到：
$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} \cdot \frac{x^2}{2x+1} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2x+1}.$$
为了计算这个极限，我们可以将分子和分母同时除以 $x$（最高次项），得到：
$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{2 + \frac{1}{x}}.$$
当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$，因此极限值为：
$$k = \frac{1}{2}.$$
所以，斜渐近线的斜率为 $k = \frac{1}{2}$。
公式：$$k = \lim_{x \to \infty} \frac{y}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{2x+1} = \frac{1}{2}$$
提示：求斜渐近线斜率时，先化简 $\frac{y}{x}$，再取极限，注意分子分母同除以最高次项。
步骤 2/3
目标：计算截距b
已知斜渐近线的斜率 $k = \frac{1}{2}$，现在需要计算截距 $b$。斜渐近线的截距公式为 $b = \lim_{x \to \infty} (y - kx)$。将 $y = \frac{x^2}{2x+1}$ 和 $k = \frac{1}{2}$ 代入，得：
$$
b = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{2x+1} - \frac{1}{2}x \right)
$$
为了计算这个极限，先通分：
$$
\frac{x^2}{2x+1} - \frac{x}{2} = \frac{2x^2 - x(2x+1)}{2(2x+1)} = \frac{2x^2 - 2x^2 - x}{2(2x+1)} = \frac{-x}{2(2x+1)}
$$
因此，
$$
b = \lim_{x \to \infty} \frac{-x}{2(2x+1)}
$$
分子分母同时除以 $x$（$x \neq 0$）：
$$
b = \lim_{x \to \infty} \frac{-1}{2\left(2 + \frac{1}{x}\right)} = \frac{-1}{2 \cdot (2 + 0)} = -\frac{1}{4}
$$
所以截距 $b = -\frac{1}{4}$。
公式：$$b = \lim_{x \to \infty} (y - kx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^2}{2x+1} - \frac{x}{2} \right) = -\frac{1}{4}$$
提示：通分后分子必为一次项，极限为常数；若分子次数高于分母，则需重新检查斜率计算。
步骤 3/3
目标：写出斜渐近线方程
由前两步已求得斜率 $k = \frac{1}{2}$ 和截距 $b = -\frac{1}{4}$，因此斜渐近线方程为：
$$
y = kx + b = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}.
$$
为了验证结果的正确性，我们检查当 $x \to \infty$ 时，函数 $f(x)$ 与直线 $y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}$ 的差是否趋于 $0$。设 $f(x)$ 为原函数，计算极限：
$$
\lim_{x \to \infty} \left[ f(x) - \left( \frac{1}{2}x - \frac{1}{4} \right) \right] = 0.
$$
该极限成立，说明所求直线确实是函数的斜渐近线。此外，还需考虑 $x \to -\infty$ 方向，若函数定义域包含负无穷，则同样验证该直线也是 $x \to -\infty$ 时的斜渐近线（通常同一函数在两个无穷方向渐近线可能不同，但本题中经计算两个方向斜率与截距相同，故为同一条直线）。
因此，最终斜渐近线方程为：
$$
\boxed{y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}}.
$$
公式：y = \frac{1}{2}x - \frac{1}{4}
提示：写出方程后，代入极限验证差趋于0，确保正确。
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