2005年考研数学一第2题

原方程为： $$xy' + 2y = x \ln x \quad (x > 0)$$ 为了将其化为一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，我们需要将方程两边同时除以 $x$（因为 $x > 0$，除法合法）。 两边除以 $x$ 得： $$\frac{xy'}{x} + \frac{2y}{x} = \frac{x \ln x}{x}$$ 化简后得到： $$y' + \frac{2}{x}y = \ln x$$ 此时，方程已经是一阶线性微分方程的标准形式，其中： - $P(x) = \dfrac{2}{x}$ - $Q(x) = \ln x$ 该步骤的关键是将原方程中 $y'$ 的系数化为1，并整理出 $y$ 项系数 $P(x)$ 和自由项 $Q(x)$，为后续使用通解公式 $y = e^{-\int P(x)\,dx}\left(\int Q(x)e^{\int P(x)\,dx}\,dx + C\right)$ 做好准备。

对于一阶线性微分方程的标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$，积分因子定义为 $\mu(x) = e^{\int P(x) \, dx}$。 由第一步已整理出的方程 $y' + \frac{2}{x}y = \frac{\ln x}{x}$，可知 $P(x) = \frac{2}{x}$。 计算积分因子： $$\mu(x) = e^{\int \frac{2}{x} \, dx} = e^{2\int \frac{1}{x} \, dx} = e^{2\ln|x|} = e^{\ln(x^2)} = x^2.$$ 这里注意，由于微分方程的解通常定义在 $x>0$ 的区间内（因为方程中出现 $\ln x$），因此绝对值可以去掉，直接取 $\mu(x) = x^2$。 积分因子的作用是：将原方程两边同乘以 $\mu(x)$ 后，左边恰好成为 $(\mu(x) \cdot y)'$ 的形式，从而将微分方程转化为可直接积分的方程。

在第二步中，我们已经求出了一阶线性微分方程的积分因子 $\mu(x) = x^2$。现在，我们将代入一阶线性微分方程的通解公式。 通解公式为： $$ y = \frac{1}{\mu(x)} \left[ \int \mu(x) Q(x) \, dx + C \right] $$ 其中 $Q(x)$ 是原方程化为标准形式 $y' + P(x)y = Q(x)$ 后的右端项。由题目条件，原方程对应的标准形式中 $Q(x) = \ln x$。 因此，代入 $\mu(x) = x^2$ 和 $Q(x) = \ln x$，得到： $$ y = \frac{1}{x^2} \left[ \int x^2 \ln x \, dx + C \right] $$ 接下来，我们需要计算积分 $\int x^2 \ln x \, dx$。这是一个典型的乘积积分，可以使用分部积分法。令 $u = \ln x$，$dv = x^2 dx$，则 $du = \frac{1}{x} dx$，$v = \frac{x^3}{3}$。 于是： $$ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx $$ 计算剩余积分： $$ \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3} $$ 所以： $$ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C_1 = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C_1 $$ 其中 $C_1$ 是积分常数。将结果代回通解表达式： $$ y = \frac{1}{x^2} \left( \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C \right) $$ 化简得到： $$ y = \frac{x}{3} \ln x - \frac{x}{9} + \frac{C}{x^2} $$ 至此，我们完成了代入通解公式并化简的过程，得到了微分方程的通解形式。

本步骤使用分部积分法计算不定积分 $\int x^2 \ln x \, dx$。 首先，分部积分公式为 $\int u \, dv = uv - \int v \, du$。我们选择 $u = \ln x$，$dv = x^2 \, dx$。则 $du = \frac{1}{x} \, dx$，$v = \int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$。 代入分部积分公式： $$ \int x^2 \ln x \, dx = \ln x \cdot \frac{x^3}{3} - \int \frac{x^3}{3} \cdot \frac{1}{x} \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \int x^2 \, dx. $$ 计算剩余积分 $\int x^2 \, dx = \frac{x^3}{3}$，因此： $$ \int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{1}{3} \cdot \frac{x^3}{3} + C = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C. $$ 其中 $C$ 为任意常数。至此，不定积分计算完成。

将上一步得到的积分结果代入通解表达式。已知通解形式为 $y = \frac{1}{x^2} \left( \int x^2 \ln x \, dx + C \right)$，而积分 $\int x^2 \ln x \, dx = \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C_1$（此处常数 $C_1$ 可合并到最终常数 $C$ 中）。代入得： $$ y = \frac{1}{x^2} \left( \frac{x^3}{3} \ln x - \frac{x^3}{9} + C \right) $$ 将括号内每一项除以 $x^2$，得到： $$ y = \frac{x^3}{3x^2} \ln x - \frac{x^3}{9x^2} + \frac{C}{x^2} $$ 化简各项： $$ y = \frac{x}{3} \ln x - \frac{x}{9} + \frac{C}{x^2} $$ 因此，原微分方程的通解为： $$ y = \frac{x \ln x}{3} - \frac{x}{9} + \frac{C}{x^2} $$ 其中 $C$ 为任意常数。

我们已经得到微分方程的通解为 $y = \frac{x \ln x}{3} - \frac{x}{9} + C$，其中 $C$ 是任意常数。现在利用初始条件 $x=1$ 时 $y=-\frac{1}{9}$ 来确定常数 $C$。将 $x=1$ 和 $y=-\frac{1}{9}$ 代入通解表达式： $$ -\frac{1}{9} = \frac{1 \cdot \ln 1}{3} - \frac{1}{9} + C. $$ 由于 $\ln 1 = 0$，上式简化为： $$ -\frac{1}{9} = 0 - \frac{1}{9} + C, $$ 即 $$ -\frac{1}{9} = -\frac{1}{9} + C. $$ 两边同时加上 $\frac{1}{9}$，得到 $0 = C$，所以 $C = 0$。因此，满足初始条件的特解为： $$ y = \frac{x \ln x}{3} - \frac{x}{9}. $$ 验证：将 $x=1$ 代入特解，$y = \frac{1 \cdot 0}{3} - \frac{1}{9} = -\frac{1}{9}$，与初始条件一致。至此，我们完成了整个微分方程的求解过程。