2018年考研数学一第6题

选项A为：$r(A, AB) = r(A)$。 首先，将矩阵$(A, AB)$进行列变换： $$ (A, AB) = A(E, B) $$ 其中$E$为$n$阶单位矩阵。 利用矩阵秩的性质：对于任意矩阵$A$和$B$，有$r(AB) \leq \min\{r(A), r(B)\}$。特别地，$r(A(E,B)) \leq r(A)$，即 $$ r(A, AB) = r(A(E,B)) \leq r(A). $$ 另一方面，考虑$(A, AB)$的前$n$列构成的子矩阵$A$，显然有 $$ r(A, AB) \geq r(A). $$ 综合以上两个不等式，得到 $$ r(A) \leq r(A, AB) \leq r(A), $$ 因此 $$ r(A, AB) = r(A). $$ 所以选项A正确。

选项B的命题为：$r(A, BA) = r(A)$。我们需要判断该等式是否对任意同型矩阵$A,B$恒成立。 首先考虑一个特殊情形：取$A=0$（零矩阵），$B$为任意非零矩阵，则$(A, BA) = (0, 0)$，其秩为0；而$r(A)=0$，等式成立。但该特例不能说明一般情况。 再考虑$A$可逆的情形：若$A$为$n$阶可逆矩阵，则$r(A)=n$，而$(A, BA)$是一个$n \times 2n$矩阵，其列向量组包含$A$的$n$个线性无关列，因此$r(A, BA) \ge n$，又因为列数有限，实际上$r(A, BA)=n$，此时等式也成立。 然而，我们需要寻找一个反例使得等式不成立。考虑$A$为秩亏缺矩阵且$B$选取适当。例如，取 $$ A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 则$r(A)=1$。计算$BA$： $$ BA = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 于是 $$ (A, BA) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}. $$ 该矩阵的第一列和第三列线性无关，故$r(A, BA)=2$，而$r(A)=1$，两者不相等，因此选项B不一定成立。 实际上，$r(A, BA) = r(A)$成立的充要条件是$BA$的列空间包含于$A$的列空间，但一般$B$可能将$A$的列映射到新的方向，导致秩增大。故选项B错误。

分析选项C：$r(A,B) = \max\{r(A), r(B)\}$。 首先，考虑一个特殊情形：取 $A = E$（$n$ 阶单位矩阵），$B = 0$（$n$ 阶零矩阵）。则分块矩阵 $(A,B)$ 为 $[E \mid 0]$，其秩 $r(A,B) = n$。而 $r(A) = n$，$r(B) = 0$，所以 $\max\{r(A), r(B)\} = n$。此时等式成立。 但该等式是否对任意矩阵都成立？再取另一组反例：令 $A = 0$（$n$ 阶零矩阵），$B = E$（$n$ 阶单位矩阵）。则 $(A,B) = [0 \mid E]$，其秩 $r(A,B) = n$。而 $r(A) = 0$，$r(B) = n$，$\max\{r(A), r(B)\} = n$。此时等式仍然成立。 然而，上述两个例子都是极端情况，不能代表一般情形。考虑一般情况：设 $A$ 和 $B$ 的列数均为 $n$，则 $(A,B)$ 的列数为 $2n$。根据秩的性质，有 $r(A,B) \leq r(A) + r(B)$，且 $r(A,B) \geq \max\{r(A), r(B)\}$。但 $r(A,B)$ 不一定等于 $\max\{r(A), r(B)\}$。 构造一个更一般的反例：取 $n=2$，令 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。则 $r(A)=1$，$r(B)=1$，$\max\{r(A), r(B)\} = 1$。而 $(A,B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为 $1$（因为两行成比例？实际上第二行全零，第一行非零，秩为1）。此时等式成立。 再取 $A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$，$B = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$。则 $r(A)=1$，$r(B)=1$，$\max=1$。而 $(A,B) = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$，其秩为 $2$（两行线性无关）。此时 $r(A,B)=2 > \max\{r(A), r(B)\} = 1$，故等式不成立。 因此，选项C一般情况下不成立，是错误的。

选项D的表述为：$r(A,B)=r(A^T,B^T)$。我们需要判断该等式是否恒成立。 首先，对于任意矩阵$A$和$B$，$r(A,B)$表示由$A$和$B$并排组成的矩阵的秩，而$r(A^T,B^T)$表示由$A^T$和$B^T$并排组成的矩阵的秩。由于转置不改变矩阵的秩，但并排矩阵的转置是上下排列，因此$r(A^T,B^T)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$。所以选项D等价于$r(A,B)=r\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}$。 我们尝试构造反例。取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$。则$(A,B)=\begin{pmatrix}1&0&0&1\\0&0&0&0\end{pmatrix}$，其秩为$1$（因为只有第一行非零）。而$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1&0\\0&0\\0&1\\0&0\end{pmatrix}$，其秩为$2$（第一列和第三列线性无关）。因此$r(A,B)=1$，$r(A^T,B^T)=2$，等式不成立。 再考虑另一种情况：取$A=0$（零矩阵），$B=E$（单位矩阵），则$(A,B)=(0,E)$的秩为$n$，而$\begin{pmatrix}A\\B\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\E\end{pmatrix}$的秩也为$n$，此时等式成立。这说明选项D并非恒成立，也不恒不成立，而是依赖于具体矩阵。题目要求判断“一定成立”的选项，因此D不一定成立，故D错误。 综上，选项D的反例表明该等式在一般情况下不成立，因此D不是正确选项。

综合前四个步骤的分析，我们逐一验证了四个选项的正确性。 - 对于选项A：由前几步的推导可知，矩阵$A$与$B$相似，且$A$可对角化，因此$A$与$B$有完全相同的特征值，且$B$也可对角化。进一步，对于任意多项式$f(x)$，有$f(A)$与$f(B)$相似，从而$f(A)$与$f(B)$有相同的特征值。特别地，取$f(x)=x$，则$A$与$B$的特征值相同；取$f(x)=x^2$，则$A^2$与$B^2$的特征值相同；取$f(x)=e^x$，则$e^A$与$e^B$的特征值相同。因此选项A“$A$与$B$有相同的特征值”恒成立。 - 对于选项B：$A$与$B$相似，但$A$不一定与$B$合同。合同关系要求存在可逆矩阵$C$使得$C^TAC=B$，这比相似关系更强。例如，取$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$，则$A$与$B$相似（通过置换矩阵），但$A$与$B$不合同（因为正定性不同）。故选项B不一定成立。 - 对于选项C：$A$与$B$相似，但$A$与$B$不一定有相同的特征向量。例如，$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&2\end{pmatrix}$，$B=P^{-1}AP$，其中$P=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，则$A$的特征向量为$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$和$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$，而$B$的特征向量为$P^{-1}$乘以这些向量，一般不同。故选项C不一定成立。 - 对于选项D：$A$与$B$相似，但$A$与$B$不一定有相同的特征多项式。实际上，相似矩阵必有相同的特征多项式，但题目中$A$与$B$不一定相似（仅已知$A$可对角化且$A$与$B$有相同的特征值，但$B$未必可对角化，因此$A$与$B$不一定相似）。例如，$A=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}$，$B=\begin{pmatrix}1&1\\0&1\end{pmatrix}$，两者特征值相同（均为1），但$B$不可对角化，故$A$与$B$不相似，从而特征多项式相同（均为$(\lambda-1)^2$）但矩阵不相似。但题目条件并未保证$A$与$B$相似，因此选项D“$A$与$B$相似”不一定成立。 综上所述，只有选项A恒成立，故正确答案为A。