2018年考研数学一第7题

已知函数$f(x)$满足条件$f(1+x)=f(1-x)$，这表明函数$f(x)$的图像关于直线$x=1$对称。根据对称性，区间$[0,1]$和$[1,2]$上的积分值相等，即 $$ \int_0^1 f(x)\,dx = \int_1^2 f(x)\,dx. $$ 因此，整个区间$[0,2]$上的积分可以表示为这两个相等部分的和： $$ \int_0^2 f(x)\,dx = \int_0^1 f(x)\,dx + \int_1^2 f(x)\,dx = 2\int_0^1 f(x)\,dx. $$ 从而得到 $$ \int_0^1 f(x)\,dx = \frac{1}{2}\int_0^2 f(x)\,dx. $$ 题目已知$\int_0^2 f(x)\,dx = 0.6$，代入上式得 $$ \int_0^1 f(x)\,dx = \frac{1}{2} \times 0.6 = 0.3. $$ 同理，$\int_1^2 f(x)\,dx = 0.3$。这样，我们利用对称性将已知的$[0,2]$上的积分分解为两个相等的部分，为后续步骤中计算$\int_0^1 f(x)\,dx$和$\int_1^2 f(x)\,dx$提供了数值基础。

由概率密度函数的归一性，总概率为1，即 $$ \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \, dx = 1. $$ 根据题目条件，概率密度函数 $f(x)$ 关于 $x=1$ 对称（对称中心为 $x=1$），因此左右两侧的概率各占一半。于是，区间 $(-\infty, 1]$ 上的积分等于区间 $[1, +\infty)$ 上的积分，且两者之和为1，故有 $$ \int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{2}. $$ 注意：由于连续型随机变量在单点处的概率为0，因此 $\int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = \int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx$ 与包含端点 $x=1$ 的积分值相同，即 $\int_{-\infty}^{1} f(x) \, dx = \frac{1}{2}$。这一结果将用于下一步求解未知参数。

已知随机变量$X$的概率密度函数为$f(x)$，且已求得$\int_{-\infty}^{1} f(x) dx = 0.5$，$\int_{0}^{1} f(x) dx = 0.3$。要求$P\{X<0\}$，即$X$取值小于0的概率。根据概率密度的定义，有 $$P\{X<0\} = \int_{-\infty}^{0} f(x) dx.$$ 由于积分区间$(-\infty,0)$可以拆分为$(-\infty,1)$减去$[0,1]$，即 $$\int_{-\infty}^{0} f(x) dx = \int_{-\infty}^{1} f(x) dx - \int_{0}^{1} f(x) dx.$$ 代入已知数值： $$\int_{-\infty}^{1} f(x) dx = 0.5, \quad \int_{0}^{1} f(x) dx = 0.3,$$ 得到 $$P\{X<0\} = 0.5 - 0.3 = 0.2.$$ 因此，$X$小于0的概率为0.2。最终答案验证：由于概率密度函数在整个实数轴上的积分为1，且$\int_{-\infty}^{1} f(x) dx = 0.5$，说明$X$小于1的概率为0.5；又$\int_{0}^{1} f(x) dx = 0.3$，故$X$在$[0,1)$内的概率为0.3，从而$X$小于0的概率为0.5-0.3=0.2，结果合理。