2018年考研数学一第8题

本题涉及正态总体均值的双边检验。设总体 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，其中 $\mu$ 为未知均值，$\sigma^2$ 可能已知或未知。检验假设为 $H_0: \mu = \mu_0$ 与 $H_1: \mu \neq \mu_0$，属于双边检验。 对于双边检验，接受域的形式为关于检验统计量的一个对称区间，即当检验统计量的观测值落在以0为中心的对称区间内时，接受原假设。具体地： 1. 当 $\sigma^2$ 已知时，检验统计量为 $Z = \frac{\bar{X} - \mu_0}{\sigma/\sqrt{n}} \sim N(0,1)$。显著性水平为 $\alpha$ 时，接受域为 $|Z| \leq z_{\alpha/2}$，其中 $z_{\alpha/2}$ 是标准正态分布的上 $\alpha/2$ 分位数。 2. 当 $\sigma^2$ 未知时，检验统计量为 $T = \frac{\bar{X} - \mu_0}{S/\sqrt{n}} \sim t(n-1)$，其中 $S$ 为样本标准差。接受域为 $|T| \leq t_{\alpha/2}(n-1)$，$t_{\alpha/2}(n-1)$ 是自由度为 $n-1$ 的 $t$ 分布的上 $\alpha/2$ 分位数。 两种情形下，接受域都是关于0对称的区间，临界值由 $\alpha/2$ 分位数决定。这是因为双边检验的拒绝域分布在两侧尾部，每侧概率为 $\alpha/2$，接受域则对应中间 $1-\alpha$ 的概率区域。 本步骤的关键是明确：无论方差已知或未知，双边检验的接受域均为 $|\text{检验统计量}| \leq \text{临界值}$ 的形式，临界值由显著性水平 $\alpha$ 和分布类型确定。

在假设检验中，显著性水平 $\alpha$ 表示当原假设 $H_0$ 为真时，拒绝 $H_0$ 的概率（即犯第一类错误的概率）。接受域是指使得我们不能拒绝 $H_0$ 的样本观测值范围，而拒绝域则是使得我们拒绝 $H_0$ 的样本观测值范围。 对于双边检验，拒绝域通常位于分布的两侧尾部，每个尾部的概率为 $\alpha/2$。设检验统计量为 $T$，其分布的分位数记为 $u_{\alpha/2}$（当分布对称时，如标准正态分布或 $t$ 分布）。接受域的形式为 $|T| \leq u_{\alpha/2}$，即 $T$ 落在区间 $[-u_{\alpha/2}, u_{\alpha/2}]$ 内。 当 $\alpha$ 减小时，$\alpha/2$ 也减小，对应的分位数 $u_{\alpha/2}$ 会增大（因为分位数是分布函数 $F(u)=1-\alpha/2$ 的逆函数，$\alpha/2$ 越小，$1-\alpha/2$ 越接近1，分位数越大）。例如，对于标准正态分布： - 当 $\alpha=0.05$ 时，$u_{0.025} \approx 1.96$； - 当 $\alpha=0.01$ 时，$u_{0.005} \approx 2.576$。 由于接受域为 $[-u_{\alpha/2}, u_{\alpha/2}]$，$u_{\alpha/2}$ 增大意味着接受域的区间长度 $2u_{\alpha/2}$ 增大，即接受域范围变大。相应地，拒绝域（两侧尾部面积之和为 $\alpha$）的范围变小。 类似地，对于单边检验（如右侧检验），拒绝域为 $T > u_{\alpha}$，接受域为 $T \leq u_{\alpha}$。当 $\alpha$ 减小时，$u_{\alpha}$ 增大，接受域 $(-\infty, u_{\alpha}]$ 的上限右移，范围变大，拒绝域 $[u_{\alpha}, +\infty)$ 范围变小。 因此，$\alpha$ 越小，接受域越大，拒绝域越小。这意味着我们更不容易拒绝 $H_0$，从而降低了犯第一类错误的概率，但可能增加犯第二类错误的概率。

在显著性水平 $\alpha=0.05$ 下接受原假设 $H_0$，意味着样本统计量（如 $t$ 统计量或 $z$ 统计量）落在 $\alpha=0.05$ 的接受域内。接受域是使得 $p$ 值大于 $\alpha$ 的统计量取值范围，即统计量的绝对值小于临界值 $c_{0.05}$（对于双侧检验）或统计量小于临界值 $c_{0.05}$（对于单侧检验）。由于 $\alpha=0.01$ 的显著性水平更严格，其拒绝域更小，接受域更大（临界值 $c_{0.01}$ 比 $c_{0.05}$ 更大，例如双侧检验中 $z_{0.025}=1.96$，$z_{0.005}=2.576$）。因此，若统计量落在 $\alpha=0.05$ 的接受域内，则必然也落在 $\alpha=0.01$ 的接受域内，故在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$。 对于其他选项： - 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.01$ 下不一定拒绝 $H_0$（实际上必接受），故选项“在 $\alpha=0.01$ 下拒绝 $H_0$”错误。 - 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则在 $\alpha=0.10$ 下可能拒绝也可能接受，因为 $\alpha=0.10$ 的接受域更小，统计量可能落在拒绝域内，故选项“在 $\alpha=0.10$ 下必接受 $H_0$”不一定成立。 - 若在 $\alpha=0.05$ 下接受 $H_0$，则 $p$ 值大于 $0.05$，但无法判断 $p$ 值与 $0.01$ 或 $0.10$ 的具体大小关系，故选项“$p$ 值小于 $0.05$”错误（实际 $p$ 值 $>0.05$）。 因此，正确选项为：在 $\alpha=0.01$ 下必接受 $H_0$。