2019年考研数学一第11题

首先，观察所给幂级数的通项形式：$a_n = \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n$。分母为$(2n)!$，这是双阶乘的平方形式，分子含有$(-1)^n$，这种结构强烈提示与余弦函数的麦克劳林展开有关。回忆余弦函数的展开式为： $$\cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n}$$ 对比可知，若令$t = \sqrt{x}$，则$t^{2n} = (\sqrt{x})^{2n} = x^n$，因此原级数可写为： $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (\sqrt{x})^{2n} = \cos(\sqrt{x})$$ 但需注意定义域：$x \geq 0$时$\sqrt{x}$为实数，$x<0$时$\sqrt{x}$为纯虚数，此时余弦函数仍可解析延拓。实际上，对于任意实数$x$，该级数收敛且和函数为$\cos(\sqrt{x})$，其中当$x<0$时，$\sqrt{x}=i\sqrt{|x|}$，利用双曲余弦关系$\cos(iy)=\cosh y$，因此和函数也可写为$\cosh(\sqrt{-x})$。不过本题通常考虑$x$在收敛域内，收敛半径为$+\infty$（因为$(2n)!$增长极快），故级数在整个实数轴上绝对收敛。至此，我们成功将幂级数与已知的余弦函数展开式对应起来，为后续求和或化简奠定了基础。

为了简化原级数中的表达式，我们进行变量代换。令 $t = \sqrt{x}$，则 $x = t^2$。于是 $x^n = (t^2)^n = t^{2n}$。将这一代换代入原级数 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^n$ 中，得到： $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} (t^2)^n = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n}. $$ 这样，原级数就化为了关于 $t$ 的幂级数形式。注意，这里的 $t$ 是新的变量，其取值范围由 $x$ 的定义域决定。由于 $x \geq 0$（因为 $\sqrt{x}$ 要求 $x \geq 0$），所以 $t \geq 0$。经过代换后，级数的结构变得更加清晰，它类似于余弦函数的麦克劳林展开式，这为后续步骤中识别和求和提供了便利。

观察上一步得到的级数表达式： $$ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n} $$ 该级数的通项为 $\frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n}$，其中 $n$ 从 $0$ 开始。回忆余弦函数 $\cos t$ 的麦克劳林（Maclaurin）展开式： $$ \cos t = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n}{(2n)!} t^{2n}, \quad t \in \mathbb{R} $$ 两者完全一致。因此，原级数就是 $\cos t$ 的麦克劳林级数。这一识别是解题的关键，因为它将复杂的无穷级数求和问题转化为一个已知的初等函数值计算问题。 注意：麦克劳林级数是泰勒级数在 $t=0$ 处的特殊情况。余弦函数的展开式是数学分析中的基本展开式，其收敛半径为无穷大，对任意实数 $t$ 都成立。

在之前的步骤中，我们通过逐项求导或积分等方法，将原级数转化为一个已知的幂级数展开形式，并得到了一个关于中间变量 $t$ 的和函数。现在需要将中间变量 $t$ 回代到原变量 $x$，从而得到原级数的和函数 $S(x)$。 设中间变量 $t = \sqrt{x}$（注意 $x > 0$，因此 $t > 0$）。在之前的推导中，我们得到和函数关于 $t$ 的表达式为 $\cos t$。因此，回代后得到： $$S(x) = \cos(\sqrt{x})$$ 由于原级数的定义域为 $x > 0$，因此和函数 $S(x) = \cos(\sqrt{x})$ 的定义域也是 $x > 0$。 最后，验证结果：当 $x > 0$ 时，$\cos(\sqrt{x})$ 是连续且无限可微的，符合幂级数和函数的性质。可以取一个特殊值检验，例如 $x = \frac{\pi^2}{4}$，则 $\sqrt{x} = \frac{\pi}{2}$，$\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$，与原级数在该点的和一致（若原级数在该点收敛）。因此，回代正确，和函数为 $S(x) = \cos(\sqrt{x})$，$x > 0$。