设函数 $f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x|x|, & x \leqslant 0, \\ x \ln x, & x\gt 0,\end{array}\right.$ 则 $x=0$ 是 $f(x)$ 的
设 $\left\{u_{n}\right\}$ 是单调增加的有界数列，则下列级数中收敛的是
设函数 $Q(x, y)=\displaystyle\frac{x}{y^{2}}$ ．如果对上半平面 $(y\gt 0)$ 内的任意有向光滑封闭曲线 $C$ 都有 $\oint_{C} P(x, y) \mathrm{d} x+Q(x, y) \mathrm{d} y=0$ ，那么函数 $P(x, y)$ 可取为
（8）设 $\boldsymbol{A}$ 是 3 阶实对称矩阵， $\boldsymbol{E}$ 是 3 阶单位矩阵．若 $\boldsymbol{A}^2+\boldsymbol{A}=2\boldsymbol{E}$ ，且 $|\boldsymbol{A}|=4$ ，则二次型 $\boldsymbol{x}^\mathrm{T}\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}$ 的规范形为
如图所示，有 3 张平面两两相交，交线相互平行，它们的方程
$$
a_{i 1} x+a_{i 2} y+a_{i 3} z=d_{i}(i=1,2,3)
$$
组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为 $\boldsymbol{A}, \boldsymbol{\overline { A }}$ ，则
$(\mathrm{A}) r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=3$ ．
$(\mathrm{B}) r(\boldsymbol{A})=2, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$．$ 
(\mathrm{C}) r(\boldsymbol{A})=1, r(\overline{\boldsymbol{A}})=2$ ．
设 $A, B$ 为随机事件，则 $P(A)=P(B)$ 的充分必要条件是（ $(\mathrm{A}) P(A \cup B)=P(A)+P(B)$ ． $(\mathrm{B}) P(A B)=P(A) P(B)$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且都服从正态分布 $N\left(\mu, \sigma^{2}\right)$ ，则 $P\{|X-Y|\lt 1\}$
设函数 $f(u)$ 可导，$z=f(\sin y-\sin x)+x y$ ，则 $\displaystyle\frac{1}{\cos x} \cdot \displaystyle\frac{\partial z}{\partial x}+\displaystyle\frac{1}{\cos y} \cdot \displaystyle\frac{\partial z}{\partial y}=$ $\_\_\_\_$ ．
幂级数 $\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty} \displaystyle\frac{(-1)^{n}}{(2 n)!} x^{n}$ 在 $(0,+\infty)$ 内的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
设 $\Sigma$ 设为曲面 $x^{2}+y^{2}+4 z^{2}=4(z \geqslant 0)$ 的上侧，则 $\iint_{\Sigma} \sqrt{4-x^{2}-4 z^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=$ $\_\_\_\_$。
设 $\boldsymbol{A}=\left(\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}\right)$ 为3阶矩阵。若 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}$ 线性无关，且 $\boldsymbol{\alpha}_{3}=-\boldsymbol{\alpha}_{1}+2 \boldsymbol{\alpha}_{2}$ ，则线性方程组 $A x=0$ 的通解为 $\_\_\_\_$ ．
设随机变量 $X$ 的概率密度为 $f(x)=\left\{\begin{array}{l}\displaystyle\frac{x}{2}, 0\lt x\lt 2, \\ 0, \text { 其他，}\end{array}\right.$ $F(x)$ 为 $X$ 的分布函数，$E(X)$ 为 $X$ 的数学期望，则 $P\{F(X)\gt E(X)-1\}=$ $\_\_\_\_$
设函数 $y(x)$ 是微分方程 $y^{\prime}+x y=\mathrm{e}^{-\displaystyle\frac{x^{2}}{2}}$ 满足条件 $y(0)=0$ 的特解． （I）求 $y(x)$ ； （II）求曲线 $y=y(x)$ 的凹凸区间及拐点．
设 $a, b$ 为实数，函数 $z=2+a x^{2}+b y^{2}$ 在点 $(3,4)$ 处的方向导数中，沿方向 $\boldsymbol{l}=-3 \boldsymbol{i}-4 \boldsymbol{j}$ 的方向导数最大，最大值为 10 。 （I）求 $a, b$ ； （II）求曲面 $z=2+a x^{2}+b y^{2}(z \geqslant 0)$ 的面积．
设 $a_{n}=\displaystyle\int_{0}^{1} x^{n} \sqrt{1-x^{2}} \mathrm{~d} x(n=0,1,2, \cdots)$ ． （I）证明数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调递减，且 $a_{n}=\displaystyle\frac{n-1}{n+2} a_{n-2}(n=2,3, \cdots)$ ； （II）求 $\displaystyle\lim _{n \rightarrow \infty} \displaystyle\frac{a_{n}}{a_{n-1}}$ ．
设 $\Omega$ 是由锥面 $x^{2}+(y-z)^{2}=(1-z)^{2}(0 \leqslant z \leqslant 1)$ 与平面 $z=0$ 围成的锥体，求 $\Omega$ 的形心坐标。
设向量组 $\boldsymbol{\alpha}_{1}=(1,2,1)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{2}=(1,3,2)^{\mathrm{T}}, \boldsymbol{\alpha}_{3}=(1, a, 3)^{\mathrm{T}}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基， $\boldsymbol{\beta}=(1,1,1)^{\mathrm{T}}$在这个基下的坐标为 $(b, c, 1)^{\mathrm{T}}$ ． （I）求 $a, b, c$ ； （II）证明 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}$ 为 $\mathbf{R}^{3}$ 的一个基，并求 $\boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}, \boldsymbol{\beta}$ 到 $\boldsymbol{\alpha}_{1}, \boldsymbol{\alpha}_{2}, \boldsymbol{\alpha}_{3}$ 的过渡矩阵。
已知矩阵 $\boldsymbol{A}=\left(\begin{array}{ccc}-2 & -2 & 1 \\ 2 & x & -2 \\ 0 & 0 & -2\end{array}\right)$ 与 $\boldsymbol{B}=\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\ 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & y\end{array}\right)$ 相似． （I）求 $x, y$ ； （II）求可逆矩阵 $\boldsymbol{P}$ 使得 $\boldsymbol{P}^{-1} \boldsymbol{A P}=\boldsymbol{B}$ ．
设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，$X$ 服从参数为 1 的指数分布，$Y$ 的概率分布为 $P\{Y=-1\}=p$ ， $P\{Y=1\}=1-p(0\lt p\lt 1)$ 。令 $Z=X Y$ 。 （I）求 $Z$ 的概率密度； （II）$p$ 为何值时，$X$ 与 $Z$ 不相关； （III）$X$ 与 $Z$ 是否相互独立？
设总体 $X$ 的概率密度为
$$
f\left(x ; \sigma^{2}\right)= \begin{cases}\frac{A}{\sigma} \mathrm{e}^{-\frac{(x-\mu)^{2}}{2 \sigma^{2}}}, & x \geqslant \mu, \\ 0, & x\lt\mu,\end{cases}
$$
其中 $\mu$ 是已知参数，$\sigma\gt 0$ 是末知参数，$A$ 是常数．$X_{1}, X_{2}, \cdots, X_{n}$ 是来自总体 $X$ 的简单随机样本。
（I）求 $A$ ；
（II）求 $\sigma^{2}$ 的最大似然估计量．