📋 详细解题步骤
目标：确定矩阵的秩
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 满足 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，且 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示。设矩阵 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，即 $A$ 是以这三个向量为列向量的矩阵。
由于 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性无关，它们构成一个线性无关组，因此矩阵 $A$ 的列秩至少为 2。又因为 $\alpha_3$ 可由 $\alpha_1, \alpha_2$ 线性表示，即存在常数 $k_1, k_2$ 使得 $\alpha_3 = k_1 \alpha_1 + k_2 \alpha_2$，这意味着 $\alpha_3$ 是 $\alpha_1, \alpha_2$ 的线性组合，所以向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的极大线性无关组就是 $\alpha_1, \alpha_2$，其秩为 2。
因此，矩阵 $A$ 的列秩为 2，而矩阵的秩等于其列秩，故 $r(A) = 2$。
公式：r(A) = 2
提示：线性无关组中增加一个可由其线性表示的向量，秩不变。
目标：确定基础解系所含向量个数
对于齐次线性方程组 $\boldsymbol{A}\boldsymbol{x}=\boldsymbol{0}$，其基础解系所含线性无关解向量的个数等于未知量个数减去系数矩阵的秩。
已知方程组中未知量的个数为 $n=3$（即 $x_1,x_2,x_3$ 三个未知数），系数矩阵 $\boldsymbol{A}$ 的秩为 $r=2$（由题目条件或前一步骤得出）。
根据线性代数理论，齐次线性方程组的基础解系所含向量个数为 $n-r$。代入数值：
$$
n - r = 3 - 2 = 1.
$$
因此，该方程组的基础解系含有 $1$ 个线性无关的解向量。这意味着所有解都可以表示为该向量的常数倍，即解空间是一维的。
这一结论是后续求解基础解系具体形式的前提：我们只需要找到一个非零解向量，即可构成基础解系。
公式：$$\text{基础解系向量个数} = n - r = 3 - 2 = 1$$
提示：牢记公式：基础解系向量个数 = 未知量个数 - 系数矩阵的秩。
目标：找出一个非零解向量
由步骤2已知向量组满足线性关系：$\alpha_3 = -\alpha_1 + 2\alpha_2$。为了找出齐次线性方程组 $A\boldsymbol{x}=0$ 的一个非零解，我们将该关系式移项，将所有项移到等号左边：
$$
\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 = 0.
$$
这个等式可以写成矩阵形式：
$$
(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0.
$$
由于 $A$ 的列向量就是 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$，即 $A = (\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3)$，因此上式等价于
$$
A \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix} = 0.
$$
令 $\boldsymbol{x} = (1, -2, 1)^\mathrm{T}$，则 $\boldsymbol{x} \neq 0$，且满足 $A\boldsymbol{x}=0$，故 $\boldsymbol{x}$ 就是 $Ax=0$ 的一个非零解向量。该解对应于系数 $(1, -2, 1)$，即第一个分量为1，第二个分量为-2，第三个分量为1。
公式：$$\alpha_1 - 2\alpha_2 + \alpha_3 = 0 \quad \Rightarrow \quad A\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}=0$$
提示：移项后系数直接对应解向量的分量，注意每个分量的正负号与移项一致。
目标：写出通解
由前几步已求得齐次线性方程组的基础解系为 $\xi = (1, -2, 1)^T$。由于方程组是齐次的，其通解为所有基础解系的线性组合。设 $k$ 为任意常数，则通解可表示为 $X = k \xi$，即 $$X = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}.$$ 验证：将 $X$ 代入原方程组，由于 $\xi$ 满足 $A\xi = 0$，故 $A(k\xi) = k(A\xi) = 0$，对任意 $k$ 成立。因此该表达式确为方程组的全部解。最终答案：通解为 $X = k(1, -2, 1)^T$，$k$ 为任意常数。
公式：X = k \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 1 \end{pmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}
提示：通解中必须包含任意常数，且基础解系中的向量要确保线性无关。