2019年考研数学一第14题

分布函数$F(x)$定义为$F(x)=P\{X\leq x\}=\int_{-\infty}^{x} f(t)dt$，其中$f(t)$为概率密度函数。根据已知的概率密度函数$f(x)=\begin{cases} \frac{x}{2}, & 0\leq x<2 \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$，我们需要分段积分。\n\n**第一段：$x<0$**\n当$x<0$时，积分区间$(-\infty, x]$完全落在$f(t)=0$的区域，因此$F(x)=\int_{-\infty}^{x} 0\,dt=0$。\n\n**第二段：$0\leq x<2$**\n当$0\leq x<2$时，积分区间$(-\infty, x]$包含两部分：$(-\infty,0)$上$f(t)=0$，$[0,x]$上$f(t)=\frac{t}{2}$。因此\n$$F(x)=\int_{-\infty}^{0}0\,dt+\int_{0}^{x}\frac{t}{2}dt=0+\left[\frac{t^2}{4}\right]_{0}^{x}=\frac{x^2}{4}.$$\n\n**第三段：$x\geq 2$**\n当$x\geq 2$时，积分区间覆盖了整个概率密度非零的区域$[0,2)$以及之外的部分。由于$\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt=1$，故$F(x)=1$。\n\n综上，分布函数的分段表达式为：\n$$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0 \\ \dfrac{x^2}{4}, & 0\leq x<2 \\ 1, & x\geq 2 \end{cases}$$

已知期望值 $E(X)=\frac{4}{3}$，代入不等式 $E(X)-1$ 得： $$ E(X)-1 = \frac{4}{3} - 1 = \frac{1}{3}. $$ 因此原概率 $P\{F(X) > E(X)-1\}$ 转化为 $P\{F(X) > \frac{1}{3}\}$。 由于 $F(x)$ 是随机变量 $X$ 的分布函数，且 $F(x)$ 是单调不减的右连续函数（对于连续型随机变量，通常严格单调递增），因此事件 $\{F(X) > \frac{1}{3}\}$ 等价于 $\{X > F^{-1}(\frac{1}{3})\}$，其中 $F^{-1}$ 表示分布函数的反函数（广义逆）。 设 $t = F^{-1}(\frac{1}{3})$，即 $t$ 满足 $F(t) = \frac{1}{3}$。于是概率可写为： $$ P\{F(X) > \frac{1}{3}\} = P\{X > t\}. $$ 根据分布函数的性质，$P\{X > t\} = 1 - F(t) = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$。 因此，原概率不等式已成功转化为关于 $X$ 的事件 $\{X > t\}$，且其概率值为 $\frac{2}{3}$。

已知分布函数为分段函数： $$F(x)=\begin{cases} 0, & x<0, \\ \dfrac{x^2}{4}, & 0\le x<2, \\ 1, & x\ge2. \end{cases}$$ 我们需要求解满足 $F(x)>\dfrac{1}{3}$ 的 $x$ 的取值范围。 首先，由于 $F(x)$ 在 $x<0$ 时恒为 $0$，不可能大于 $\dfrac{1}{3}$，因此只需考虑 $x\ge0$ 的部分。 当 $0\le x<2$ 时，$F(x)=\dfrac{x^2}{4}$。令 $$\dfrac{x^2}{4}>\dfrac{1}{3}$$ 两边同时乘以 $4$ 得 $$x^2>\dfrac{4}{3}$$ 开平方（注意 $x\ge0$）得 $$x>\sqrt{\dfrac{4}{3}}=\dfrac{2}{\sqrt{3}}$$ 由于 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}\approx1.155$，且该值在区间 $[0,2)$ 内，因此当 $x\in\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},2\right)$ 时，$F(x)>\dfrac{1}{3}$。 当 $x\ge2$ 时，$F(x)=1$，显然 $1>\dfrac{1}{3}$ 恒成立，所以 $x\ge2$ 也满足条件。 综合以上两部分，满足 $F(x)>\dfrac{1}{3}$ 的 $x$ 区间为 $$\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},+\infty\right)$$ 即 $x>\dfrac{2}{\sqrt{3}}$。 注意：由于分布函数 $F(x)$ 是右连续的，在 $x=2$ 处 $F(2)=1>\dfrac{1}{3}$，因此区间左端点 $\dfrac{2}{\sqrt{3}}$ 处不包含（因为 $F\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)=\dfrac{1}{3}$，不满足严格大于），右端点为无穷大。

本步骤需要计算概率值，即对概率密度函数在区间 $(2/\sqrt{3}, 2)$ 上进行积分。已知概率密度函数为 $f(x) = \frac{x}{2}$，积分区间为 $\left(\frac{2}{\sqrt{3}}, 2\right)$。因此，所求概率为： $$ P = \int_{2/\sqrt{3}}^{2} \frac{x}{2} \, dx. $$ 首先，计算不定积分：$\int \frac{x}{2} \, dx = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2}{2} = \frac{x^2}{4}$。然后代入上下限： $$ P = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_{2/\sqrt{3}}^{2} = \frac{2^2}{4} - \frac{(2/\sqrt{3})^2}{4} = \frac{4}{4} - \frac{4/3}{4} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}. $$ 因此，所求概率值为 $\frac{2}{3}$。 验证：由于概率密度函数在区间 $[0,2]$ 上的积分为 $\int_0^2 \frac{x}{2} \, dx = \left[ \frac{x^2}{4} \right]_0^2 = 1$，符合归一化条件。而 $\frac{2}{3}$ 是合理的子区间概率。