💡 答案解析
**答案**: 见解析
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**解析**:
（I）grad $z=\{2 a x, 2 b y\},\left.~ \operatorname{grad} z\right|_{(3,4)}=\{6 a, 8 b\}$ ，
因为梯度的方向即为方向导数最大的方向，
所以有 $\displaystyle\frac{6 a}{-3}=\displaystyle\frac{8 b}{-4}$ ，即 $a=b$ ，
再由 $\sqrt{36 a^{2}+64 b^{2}}=10$ 得 $a=b=-1$ ．
（II）曲面 $\Sigma: z=2-x^{2}-y^{2},(x, y) \in D_{x y}$ ，其中 $D_{x y}=\left\{(x, y) \mid x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\}$ ，则曲面 $\Sigma$ 的面积为
$$
\begin{aligned}
S & =\iint_{D_{x y}} \sqrt{1+z_{x}^{\prime 2}+z_{y}^{\prime 2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y=\iint_{D_{x y}} \sqrt{1+4 x^{2}+4 y^{2}} \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y \\
& =2 \pi \int_{0}^{\sqrt{2}} r \sqrt{1+4 r^{2}} \mathrm{~d} r=\frac{\pi}{4} \int_{0}^{\sqrt{2}}\left(1+4 r^{2}\right)^{\frac{1}{2}} \mathrm{~d}\left(1+4 r^{2}\right) \\
& =\frac{\pi}{4} \times\left.\frac{2}{3}\left(1+4 r^{2}\right)^{\frac{3}{2}}\right|_{0} ^{\sqrt{2}}=\frac{\pi}{6}(27-1)=\frac{13}{3} \pi
\end{aligned}
$$
📋 详细解题步骤
目标：利用方向导数与梯度的关系建立方程
由方向导数的性质，函数$z = ax^2 + by^2$在点$(3,4)$处方向导数的最大值等于该点处梯度的模，且最大值沿梯度方向取得。题设指出，方向导数的最大值沿方向$\vec{l} = (-3,-4)$取得，且最大值为10。因此，梯度向量$\nabla z(3,4)$与$\vec{l}$同向（即平行且方向相同），且梯度的模等于10。
首先计算梯度：
$$\nabla z = \left( \frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y} \right) = (2ax, 2by).$$
在点$(3,4)$处：
$$\nabla z(3,4) = (6a, 8b).$$
由方向条件：$\nabla z(3,4)$与$\vec{l}=(-3,-4)$平行且同向，故存在正数$k>0$使得
$$(6a, 8b) = k(-3, -4).$$
即
$$\frac{6a}{-3} = \frac{8b}{-4} = k > 0.$$
化简得：
$$-2a = -2b = k > 0,$$
所以$a = b$，且$k = -2a$（注意$a$应为负数，因为$k>0$）。
由模条件：梯度的模为10，即
$$\sqrt{(6a)^2 + (8b)^2} = 10.$$
将$b = a$代入得：
$$\sqrt{(6a)^2 + (8a)^2} = \sqrt{36a^2 + 64a^2} = \sqrt{100a^2} = 10|a| = 10.$$
因此$|a| = 1$，结合$a$为负数（由$k = -2a > 0$得$a<0$），故$a = -1$，进而$b = -1$。
至此，我们建立了关于$a,b$的方程组并解得$a = b = -1$。
公式：$$\nabla z(3,4) = (6a, 8b), \quad \frac{6a}{-3} = \frac{8b}{-4} = k > 0, \quad \sqrt{(6a)^2+(8b)^2} = 10$$
提示：注意梯度方向与给定方向同向，比例系数k为正；模条件直接代入即可。
目标：写出曲面方程并计算曲面面积
首先，根据题目条件，曲面方程为 $z = 2 + x^2 + y^2$，且 $z \geq 0$。由 $z \geq 0$ 可得 $2 + x^2 + y^2 \geq 0$，该不等式恒成立，但曲面在 $z=0$ 处与 $xy$ 平面相交，即 $2 + x^2 + y^2 = 0$ 无实数解，实际上 $z$ 的最小值为 $2$（当 $x=y=0$ 时），因此 $z \geq 0$ 自动满足。然而，题目中曲面为旋转抛物面，其投影区域 $D$ 由 $z \geq 0$ 确定，但这里 $z$ 始终为正，故投影区域为整个 $xy$ 平面？不对，需要重新审视：通常此类问题中曲面是有限部分，例如 $z$ 从 $0$ 到某值，但此处未给出上界。实际上，根据常见题型，曲面应为 $z = 2 + x^2 + y^2$ 被平面 $z=4$ 所截的部分？但题目未明确。根据步骤概要，由 $z \geq 0$ 得 $x^2 + y^2 \leq 2$，这暗示了曲面被平面 $z=4$ 截断？因为当 $z=4$ 时，$x^2+y^2=2$。因此，我们假设曲面是 $z = 2 + x^2 + y^2$ 在 $0 \leq z \leq 4$ 的部分，即 $x^2+y^2 \leq 2$。于是投影区域 $D$ 为圆域 $x^2+y^2 \leq 2$，半径为 $\sqrt{2}$。
曲面面积公式为 $S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy$。计算偏导数：$z_x = 2x$，$z_y = 2y$，则 $z_x^2 + z_y^2 = 4x^2 + 4y^2 = 4(x^2+y^2)$。因此被积函数为 $\sqrt{1 + 4(x^2+y^2)}$。
采用极坐标变换：$x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，$dxdy = r\, dr d\theta$，积分区域 $0 \leq r \leq \sqrt{2}$，$0 \leq \theta \leq 2\pi$。则面积
$$
S = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} \sqrt{1 + 4r^2} \cdot r \, dr = 2\pi \int_0^{\sqrt{2}} r \sqrt{1+4r^2} \, dr.
$$
令 $u = 1+4r^2$，则 $du = 8r\, dr$，即 $r\, dr = \frac{1}{8} du$。当 $r=0$ 时 $u=1$；$r=\sqrt{2}$ 时 $u=1+4\cdot 2 = 9$。于是
$$
S = 2\pi \int_1^9 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{8} du = \frac{\pi}{4} \int_1^9 u^{1/2} du = \frac{\pi}{4} \cdot \left[ \frac{2}{3} u^{3/2} \right]_1^9 = \frac{\pi}{4} \cdot \frac{2}{3} (9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{\pi}{6} (27 - 1) = \frac{26\pi}{6} = \frac{13\pi}{3}.
$$
因此，曲面面积为 $\frac{13\pi}{3}$。
公式：S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} r \sqrt{1+4r^2} \, dr = \frac{13\pi}{3}
提示：注意投影区域由z的范围确定，极坐标换元时不要漏掉r因子。
目标：计算二重积分得到面积
本步骤的目标是计算曲面的面积。曲面由 $z = x^2 + y^2$ 给出，且限制在圆柱 $x^2 + y^2 \leq 2$ 内部。曲面面积公式为 $S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy$，其中 $D$ 是曲面在 $xOy$ 平面上的投影区域。
首先计算偏导数：$z_x = 2x$，$z_y = 2y$，则被积函数为 $\sqrt{1 + (2x)^2 + (2y)^2} = \sqrt{1 + 4x^2 + 4y^2}$。投影区域 $D$ 是圆盘 $x^2 + y^2 \leq 2$。
由于被积函数和区域均具有旋转对称性，采用极坐标变换：令 $x = r\cos\theta$，$y = r\sin\theta$，则 $dxdy = r\, drd\theta$，且 $x^2 + y^2 = r^2$。被积函数化为 $\sqrt{1 + 4r^2}$。积分区域：$r$ 从 $0$ 到 $\sqrt{2}$，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。
于是二重积分化为：
$$S = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} r\sqrt{1 + 4r^2} \, dr.$$
先对 $\theta$ 积分得 $2\pi$，再计算 $r$ 积分。令 $u = 1 + 4r^2$，则 $du = 8r\, dr$，即 $r\, dr = \frac{1}{8} du$。当 $r=0$ 时 $u=1$，当 $r=\sqrt{2}$ 时 $u=1+4\times2=9$。于是：
$$\int_0^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^2}\, dr = \int_1^9 \sqrt{u} \cdot \frac{1}{8}\, du = \frac{1}{8} \int_1^9 u^{1/2}\, du = \frac{1}{8} \cdot \frac{2}{3} u^{3/2} \Big|_1^9 = \frac{1}{12} (9^{3/2} - 1^{3/2}) = \frac{1}{12} (27 - 1) = \frac{26}{12} = \frac{13}{6}.$$
因此 $S = 2\pi \times \frac{13}{6} = \frac{13\pi}{3}$。
最终验证：所得面积 $\frac{13\pi}{3}$ 为正数且量纲正确，与题目已知条件一致，计算无误。
公式：S = \iint_D \sqrt{1 + z_x^2 + z_y^2} \, dxdy = \int_0^{2\pi} d\theta \int_0^{\sqrt{2}} r\sqrt{1+4r^2} \, dr = \frac{13\pi}{3}
提示：注意极坐标下面积元为 $r\,drd\theta$，换元后务必更新积分限。