2019年考研数学一第4题

题目给出函数 $Q(x,y)=\frac{x}{y^2}$，且对上半平面（$y>0$）内任意封闭曲线 $C$，曲线积分 $\oint_C P\,dx+Q\,dy=0$。这意味着该曲线积分与路径无关，因此被积表达式 $P\,dx+Q\,dy$ 是某个函数的全微分。根据曲线积分与路径无关的充要条件，在单连通区域（上半平面是单连通的）内，必有 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}$ 处处成立。于是我们得到关键等式：$$\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y^2}\right)=\frac{1}{y^2}.$$ 因此，$P(x,y)$ 必须满足 $\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{1}{y^2}$。对 $y$ 积分可得 $P(x,y)=-\frac{1}{y}+\varphi(x)$，其中 $\varphi(x)$ 是仅依赖于 $x$ 的任意函数。题目还隐含了 $P(x,y)$ 在上半平面内具有连续偏导数（否则曲线积分与路径无关的条件不成立）。至此，我们已将题目条件转化为对 $P$ 的偏微分方程约束，为后续求解 $P$ 的具体形式做好准备。

本步骤的目标是计算函数 $Q(x,y) = \frac{x}{y^2}$ 关于变量 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial Q}{\partial x}$。偏导数的定义是：将其他变量视为常数，仅对指定变量求导。 在 $Q(x,y) = \frac{x}{y^2}$ 中，$y$ 被视为常数，因此 $\frac{1}{y^2}$ 是一个与 $x$ 无关的系数。于是，求偏导的过程相当于对 $x$ 求导，而 $\frac{1}{y^2}$ 保持不变。 具体计算如下： $$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left( \frac{x}{y^2} \right) = \frac{1}{y^2} \cdot \frac{\partial}{\partial x}(x) = \frac{1}{y^2} \cdot 1 = \frac{1}{y^2}.$$ 因此，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{1}{y^2}$。 注意：这里 $y \neq 0$，因为分母 $y^2$ 不能为零。在后续步骤中，这个结果将用于计算曲线积分与路径无关的条件。

由第二步得到的偏微分方程 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{1}{y^2}$，我们需要对 $y$ 进行积分来求解函数 $P(x,y)$。注意，这里的偏导数只对 $y$ 求导，因此积分时 $x$ 被视为常数。对 $\frac{1}{y^2}$ 关于 $y$ 积分，得到： $$\int \frac{1}{y^2} \, dy = \int y^{-2} \, dy = -y^{-1} + C = -\frac{1}{y} + C$$ 由于积分过程中 $x$ 保持不变，积分常数实际上可以是 $x$ 的任意函数，记作 $\varphi(x)$。因此，$P(x,y)$ 的通解为： $$P(x,y) = -\frac{1}{y} + \varphi(x)$$ 其中 $\varphi(x)$ 是待定的 $x$ 的函数。这个结果来源于偏微分方程的基本解法：对 $y$ 积分时，将 $x$ 视为参数，积分常数替换为 $x$ 的任意函数。后续步骤将利用另一个偏微分方程 $\frac{\partial P}{\partial x} = \frac{1}{x^2}$ 来确定 $\varphi(x)$ 的具体形式。

本步骤验证选项(D)是否满足曲线积分与路径无关的条件。已知曲线积分形式为 $\int_{L} \frac{x\,dy - y\,dx}{y^2}$，其中 $P(x,y) = -\frac{1}{y}$，$Q(x,y) = \frac{x}{y^2}$。首先计算偏导数：$\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\left(-\frac{1}{y}\right) = \frac{1}{y^2}$，$\frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left(\frac{x}{y^2}\right) = \frac{1}{y^2}$。因此 $\frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x}$ 恒成立。 进一步检查定义域：$P$ 和 $Q$ 在 $y \neq 0$ 时连续且可偏导，而上半平面 $y > 0$ 是单连通区域，且 $y=0$ 不在区域内，因此曲线积分在上半平面内与路径无关，即沿任何封闭曲线的积分值为零。选项(D)中曲线 $L$ 为上半平面内不经过 $y=0$ 的封闭曲线，故积分值为 $0$，与选项(D)的结论一致。 其他选项分析：选项(A) $y=x^2$ 不封闭，积分值一般不为零；选项(B) $x^2+y^2=1$ 经过 $y=0$ 的点，导致被积函数无定义，因此不可直接应用格林公式；选项(C) $x^2+y^2=1$ 且 $y>0$ 虽在上半平面，但曲线不封闭（缺少 $y=0$ 部分），积分值不为零。因此只有选项(D)正确。 最终答案：选项(D)。