2019年考研数学一第3题

首先，题目给出数列 $\{u_n\}$ 单调增加且有界。根据单调有界准则，单调有界数列必有极限。因此，$\{u_n\}$ 的极限存在，记 $\lim_{n \to \infty} u_n = A$。由于数列单调增加，故对任意 $n$，有 $u_n \leq A$。又因为数列有界，$A$ 是一个有限实数。这一性质是后续分析级数收敛性的基础。例如，在判断正项级数 $\sum (1 - u_n / u_{n+1})$ 的敛散性时，极限 $A$ 的存在性将用于比较 $u_n$ 与 $u_{n+1}$ 的比值趋近于1的情况。此外，由单调增加可知 $u_{n+1} \geq u_n$，从而 $1 - u_n / u_{n+1} \geq 0$，即级数通项非负，这为使用比较判别法或积分判别法提供了条件。

选项(A)为：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n}$收敛。我们需要判断该命题是否一定成立。 考虑构造反例。取$u_n = 1 - \frac{1}{n}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$的通项$u_n \to 1 \neq 0$，因此该级数发散，不满足前提条件。需要构造一个收敛的$\sum u_n$，但$\sum \frac{u_n}{n}$发散。 更合适的反例：令$u_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$。由莱布尼茨判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$条件收敛。但$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{u_n}{n} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^{3/2}}$，其绝对值级数$\sum \frac{1}{n^{3/2}}$收敛（$p=3/2>1$），故该级数绝对收敛，不能作为反例。 我们需要$\sum u_n$收敛但$\sum \frac{u_n}{n}$发散。考虑$u_n = \frac{(-1)^n}{\ln(n+1)}$，则$\sum u_n$条件收敛（莱布尼茨），而$\sum \frac{u_n}{n} = \sum \frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}$，其绝对值级数$\sum \frac{1}{n\ln(n+1)}$发散（积分判别法），但交错级数$\sum \frac{(-1)^n}{n\ln(n+1)}$条件收敛，因此仍不是反例。 更简单的反例：取$u_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则$\sum u_n$条件收敛（交错调和级数），而$\sum \frac{u_n}{n} = \sum \frac{(-1)^n}{n^2}$绝对收敛，也不符合。 实际上，选项(A)是正确的！因为若$\sum u_n$收敛，则$u_n \to 0$，且$\left|\frac{u_n}{n}\right| \leq |u_n|$（当$n\geq 1$时），但比较判别法要求正项级数，这里$u_n$可能变号。 正确证明：由阿贝尔判别法，取$a_n = u_n$，$b_n = \frac{1}{n}$，则$\sum a_n$收敛，$b_n$单调递减趋于0，故$\sum a_n b_n$收敛。因此选项(A)一定收敛。 但题目要求判断(A)的收敛性，根据标准答案，选项(A)是收敛的，即命题正确。然而步骤概要中给出的反例$u_n=1-1/n$不满足前提（$\sum u_n$发散），因此该反例无效。实际上(A)是正确的，无需反例。 综上，选项(A)的级数$\sum \frac{u_n}{n}$一定收敛。

选项(B)为：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} u_n$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n$收敛。我们需要判断该命题是否一定成立。 考虑构造反例。取$u_n = 1$（常数数列），则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} 1$，这是一个发散级数（通项不趋于0），不满足前提条件。因此这个反例无效，需要构造一个满足前提条件（即$\sum u_n$收敛）但结论不成立的反例。 正确的反例：取$u_n = \frac{(-1)^n}{n}$，则$\sum_{n=1}^{\infty} u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}$，这是交错调和级数，由莱布尼茨判别法知其收敛（条件收敛）。但此时$(-1)^n u_n = (-1)^n \cdot \frac{(-1)^n}{n} = \frac{1}{n}$，于是$\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n u_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$，这是调和级数，发散。因此该反例表明：即使$\sum u_n$收敛，$\sum (-1)^n u_n$也可能发散，故选项(B)不一定成立。 注意：题目步骤概要中给出的反例$u_n=1$是错误的，因为此时$\sum u_n$发散，不满足前提。正确的反例应如上述。因此，选项(B)的结论不一定收敛，该命题为假。

选项(C)为：级数 $\sum_{n=1}^{\infty}\left(1-\frac{u_n}{u_{n+1}}\right)$ 收敛。已知 $\{u_n\}$ 是单调增加的正数列，且 $\lim_{n\to\infty}u_n=+\infty$。由于 $u_n

公式：$$1-\frac{u_n}{u_{n+1}}=\frac{u_{n+1}-u_n}{u_{n+1}}$$

提示：构造反例时，选取简单的发散级数对应的$u_n$，如$u_n=n$或$u_n=\ln n$。