2019年考研数学一第5题

设矩阵 $A$ 的特征值为 $\lambda$，对应的特征向量为 $\boldsymbol{x}$（$\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$），则有 $A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$。 已知条件为 $A^2 + A = 2E$，两边同时右乘特征向量 $\boldsymbol{x}$，得： $$(A^2 + A)\boldsymbol{x} = 2E\boldsymbol{x}$$ 利用矩阵乘法的线性性质，左边展开为 $A^2\boldsymbol{x} + A\boldsymbol{x}$。由于 $A\boldsymbol{x} = \lambda \boldsymbol{x}$，则 $A^2\boldsymbol{x} = A(A\boldsymbol{x}) = A(\lambda \boldsymbol{x}) = \lambda A\boldsymbol{x} = \lambda^2 \boldsymbol{x}$。代入上式： $$\lambda^2 \boldsymbol{x} + \lambda \boldsymbol{x} = 2 \boldsymbol{x}$$ 将右边项移到左边，提出公因子 $\boldsymbol{x}$： $$(\lambda^2 + \lambda - 2)\boldsymbol{x} = \boldsymbol{0}$$ 由于特征向量 $\boldsymbol{x} \neq \boldsymbol{0}$，因此系数必须为零： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$ 这就是特征值满足的方程。解此一元二次方程： $$\lambda^2 + \lambda - 2 = (\lambda + 2)(\lambda - 1) = 0$$ 解得 $\lambda = -2$ 或 $\lambda = 1$。 因此，矩阵 $A$ 的特征值只可能是 $-2$ 或 $1$。

由前两步已求得二次型矩阵的特征值为 $\lambda_1 = 1$（单重）和 $\lambda_2 = \lambda_3 = -2$（二重）。根据二次型规范形的定义，规范形中平方项的系数由特征值的正负号决定：正特征值对应系数 $+1$，负特征值对应系数 $-1$，零特征值对应系数 $0$。本题中有一个正特征值 $1$ 和两个负特征值 $-2$，因此规范形为 $$f = y_1^2 - y_2^2 - y_3^2,$$ 其中 $y_1, y_2, y_3$ 是经过正交变换和伸缩变换后的新变量。注意，规范形不唯一，但正、负平方项的个数（即正、负惯性指数）是唯一确定的。本题的正惯性指数为 $1$，负惯性指数为 $2$，符号差为 $1-2 = -1$。最终答案验证：将规范形与原始二次型对比，通过可逆线性变换（正交变换+缩放）可实现两者转化，且特征值的符号决定了规范形的形式，因此 $y_1^2 - y_2^2 - y_3^2$ 即为所求。