2019年考研数学一第6题

根据题意，已知三个平面两两相交，且三条交线相互平行。首先，由“两两相交”可知任意两个平面都不平行，即三个平面中任意两个平面的法向量不共线，因此三个平面两两不平行。其次，由于三条交线相互平行，说明三个平面没有公共交点。若三个平面有公共交点，则三条交线会交于该点，不可能相互平行。因此，三个平面的位置关系是：任意两个平面相交于一条直线，且这三条交线互相平行，但三个平面没有共同的交点。这种位置关系可以形象地理解为三个平面像三棱柱的三个侧面，每个侧面与相邻侧面交于一条棱，三条棱互相平行，但三个侧面没有公共顶点。在解析几何中，设三个平面方程为：$\pi_1: A_1x+B_1y+C_1z+D_1=0$，$\pi_2: A_2x+B_2y+C_2z+D_2=0$，$\pi_3: A_3x+B_3y+C_3z+D_3=0$。由两两相交，可知任意两个平面的法向量不共线，即$\frac{A_1}{A_2}\neq\frac{B_1}{B_2}$或$\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}$等。由交线平行，可知三个平面的法向量共面（即三个法向量线性相关），且三个平面的常数项满足一定条件，使得方程组无解。具体地，三个平面交线平行等价于系数矩阵的秩为2，增广矩阵的秩为3，即$r(A)=2$，$r(A|b)=3$。因此，三个平面方程构成的线性方程组无解，且任意两个方程构成的方程组有解（即两两相交）。综上所述，本题中三个平面的位置关系是：两两相交，交线互相平行，无公共交点。

已知三个平面方程构成的线性方程组为 $\mathbf{A}\mathbf{x}=\mathbf{b}$，其中系数矩阵 $\mathbf{A}$ 是 $3\times 3$ 矩阵，每一行对应一个平面的法向量。题目条件指出“任意两个平面不平行”，这意味着任意两个平面的法向量不共线。 对于系数矩阵 $\mathbf{A}$，其行向量即为各平面的法向量。若任意两个行向量不共线，则至少存在两个行向量线性无关。例如，取前两个平面的法向量 $\mathbf{n}_1$ 和 $\mathbf{n}_2$，由于它们不平行，故不存在非零常数 $k$ 使得 $\mathbf{n}_1 = k\mathbf{n}_2$，因此 $\mathbf{n}_1$ 与 $\mathbf{n}_2$ 线性无关。 矩阵的秩等于其行向量组的极大线性无关组中向量的个数。既然已经找到两个线性无关的行向量，则矩阵的秩至少为2，即 $r(\mathbf{A}) \geq 2$。 这一结论是后续判断方程组解的情况的基础。若秩恰好为2，则方程组可能无解（当 $\mathbf{b}$ 不在列空间时）或有无穷多解（当 $\mathbf{b}$ 在列空间时）；若秩为3，则方程组有唯一解。本步骤仅确定下界，不涉及具体解的情况。

已知三个平面无公共交点，即线性方程组无解。对于线性方程组 $A\boldsymbol{x} = \boldsymbol{b}$，无解的充要条件是系数矩阵的秩小于增广矩阵的秩，即 $r(A) < r(\overline{A})$。 设系数矩阵 $A$ 为 $3 \times 3$ 矩阵，增广矩阵 $\overline{A} = [A \mid \boldsymbol{b}]$ 为 $3 \times 4$ 矩阵。由于 $A$ 有3行，其秩最大为3；增广矩阵的秩最大也为3。无解条件 $r(A) < r(\overline{A})$ 意味着 $r(A) \leq 2$ 且 $r(\overline{A}) = 3$。 具体地，若 $r(A) = 0$，则所有系数为零，但此时若 $\boldsymbol{b} \neq \boldsymbol{0}$，则 $r(\overline{A}) = 1$，满足 $0 < 1$；若 $r(A) = 1$，则 $r(\overline{A})$ 可能为2或3；若 $r(A) = 2$，则 $r(\overline{A})$ 必须为3。 因此，无解条件等价于增广矩阵的秩比系数矩阵的秩大1，即 $r(\overline{A}) = r(A) + 1$。由于 $A$ 是 $3 \times 3$ 矩阵，$r(A)$ 可能为0,1,2，而 $r(\overline{A})$ 相应为1,2,3。 在本题中，三个平面无公共交点，意味着方程组无解，故必有 $r(A) < r(\overline{A})$。这一关系是后续判断平面位置关系的基础。

在前几步中，我们已经得到以下信息： - 由非齐次线性方程组 $Ax = b$ 有解且不唯一，可知系数矩阵 $A$ 的秩 $r(A)$ 小于增广矩阵 $\overline{A} = (A \mid b)$ 的秩，即 $r(A) < r(\overline{A})$，且 $r(A) < n$（$n$ 为未知数个数）。 - 由题设条件，$A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，故 $r(A) \leq 3$，$r(\overline{A}) \leq 3$。 - 又因为方程组有解，所以 $r(A) = r(\overline{A})$ 是矛盾条件，实际上有解且不唯一意味着 $r(A) = r(\overline{A}) < n$，但这里题目条件给出的是“有解且不唯一”，结合选项分析，实际上应理解为 $r(A) < r(\overline{A})$ 的情况？我们需要仔细核对：对于非齐次线性方程组，有解的充要条件是 $r(A) = r(\overline{A})$，不唯一解则 $r(A) < n$。但题目中“有解且不唯一”意味着 $r(A) = r(\overline{A}) < 4$。然而步骤概要中给出的条件是 $r(A) < r(\overline{A})$，这似乎与常规理论矛盾。实际上，在本题的特定条件下，可能由于矩阵的特殊结构（例如 $A$ 的某行全为零而 $b$ 对应分量非零），导致 $r(A) < r(\overline{A})$ 但方程组仍然有解？不，这不可能，因为 $r(A) < r(\overline{A})$ 时方程组无解。因此，步骤概要中的条件 $r(A) < r(\overline{A})$ 可能是笔误，正确的逻辑应为：由“有解且不唯一”得 $r(A) = r(\overline{A}) < 4$。结合 $A$ 是 $3 \times 4$ 矩阵，$r(A) \leq 3$，$r(\overline{A}) \leq 3$，所以 $r(A) = r(\overline{A}) \leq 3$。又因为不唯一解，$r(A) < 4$ 自动成立。但还需要进一步确定具体数值。 实际上，题目中可能隐含了另一个条件：$A$ 的列向量组线性相关？或者通过其他步骤（如前几步中可能已推导出 $r(A) \geq 2$ 且 $r(\overline{A}) \geq 3$）。按照步骤概要，已知 $r(A) \geq 2$ 且 $r(A) < r(\overline{A}) \leq 3$，那么 $r(A)$ 只能取 $2$，$r(\overline{A})$ 只能取 $3$。因此，最终结论为： $$ r(A) = 2, \quad r(\overline{A}) = 3. $$ 验证：若 $r(A)=2$，$r(\overline{A})=3$，则 $r(A) < r(\overline{A})$，方程组无解，这与“有解”矛盾。但题目中“有解且不唯一”是已知条件，所以这里可能存在理解偏差。实际上，在本题的原始语境中，可能“有解且不唯一”是指 $Ax = b$ 有解且解不唯一，而 $r(A) < r(\overline{A})$ 是另一个条件（例如由 $A$ 的某行全零而 $b$ 对应分量非零推出），但这样会导致无解。因此，更合理的解释是：步骤概要中的 $r(A) < r(\overline{A})$ 应改为 $r(A) = r(\overline{A})$，但既然步骤目标要求综合得出最终秩的值，我们按照步骤概要给出的不等式推导：由 $r(A) \geq 2$，$r(A) < r(\overline{A}) \leq 3$，且 $r(A), r(\overline{A})$ 均为整数，故 $r(A)$ 只能为 $2$，$r(\overline{A})$ 只能为 $3$。最终答案为 $r(A)=2$，$r(\overline{A})=3$。