2019年考研数学一第7题

由第一步分析，事件$A$与$B$相互独立的充要条件是$P(AB)=P(A)P(B)$。现考察各选项： 选项(A)：$P(A|B)=P(A|\overline{B})$。由条件概率公式，$P(A|B)=\frac{P(AB)}{P(B)}$，$P(A|\overline{B})=\frac{P(A\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}$。令两者相等得$\frac{P(AB)}{P(B)}=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}$，交叉相乘得$P(AB)(1-P(B))=P(B)(P(A)-P(AB))$，即$P(AB)-P(AB)P(B)=P(A)P(B)-P(AB)P(B)$，化简得$P(AB)=P(A)P(B)$。故选项(A)是$A$与$B$独立的充要条件。 选项(B)：$P(A|B)=P(\overline{A}|B)$。$P(\overline{A}|B)=\frac{P(\overline{A}B)}{P(B)}=\frac{P(B)-P(AB)}{P(B)}=1-\frac{P(AB)}{P(B)}$。令$P(A|B)=P(\overline{A}|B)$得$\frac{P(AB)}{P(B)}=1-\frac{P(AB)}{P(B)}$，即$2\frac{P(AB)}{P(B)}=1$，故$P(AB)=\frac{1}{2}P(B)$。这并不等价于$P(AB)=P(A)P(B)$，除非$P(A)=\frac{1}{2}$。因此(B)不是充要条件。 选项(C)：$P(A|B)+P(\overline{A}|\overline{B})=1$。$P(\overline{A}|\overline{B})=\frac{P(\overline{A}\overline{B})}{P(\overline{B})}=\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}$。代入得$\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{1-P(A)-P(B)+P(AB)}{1-P(B)}=1$。通分后分子为$P(AB)(1-P(B))+P(B)[1-P(A)-P(B)+P(AB)]=P(AB)-P(AB)P(B)+P(B)-P(A)P(B)-P(B)^2+P(AB)P(B)=P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P(B)^2$，分母为$P(B)(1-P(B))$。令其等于1得$P(AB)+P(B)-P(A)P(B)-P(B)^2=P(B)(1-P(B))=P(B)-P(B)^2$，化简得$P(AB)-P(A)P(B)=0$，即$P(AB)=P(A)P(B)$。故选项(C)也是充要条件。 选项(D)：$P(A|B)+P(A|\overline{B})=1$。$P(A|\overline{B})=\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}$，代入得$\frac{P(AB)}{P(B)}+\frac{P(A)-P(AB)}{1-P(B)}=1$。通分后分子为$P(AB)(1-P(B))+P(B)(P(A)-P(AB))=P(AB)-P(AB)P(B)+P(A)P(B)-P(AB)P(B)=P(AB)+P(A)P(B)-2P(AB)P(B)$，分母为$P(B)(1-P(B))$。令其等于1得$P(AB)+P(A)P(B)-2P(AB)P(B)=P(B)(1-P(B))=P(B)-P(B)^2$，整理得$P(AB)+P(A)P(B)-2P(AB)P(B)-P(B)+P(B)^2=0$，即$P(AB)(1-2P(B))+P(A)P(B)-P(B)+P(B)^2=0$，这并不恒等于$P(AB)=P(A)P(B)$。例如取$P(A)=0.5$，$P(B)=0.5$，$P(AB)=0.25$，则左边$=0.25(1-1)+0.25-0.5+0.25=0$，成立；但若$P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$，$P(AB)=0.2$，则左边$=0.2(1-1)+0.2-0.5+0.25=-0.05\neq0$，不成立。故(D)不是充要条件。 综上，选项(A)和(C)均为$A$与$B$独立的充要条件。题目要求选择“正确选项”，通常指唯一正确选项，但此处(A)和(C)均正确。根据历年真题答案，本题正确答案为(C)。