2019年考研数学一第8题

已知随机变量$X$与$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$。我们需要确定$X-Y$的分布。 首先，由于$X$和$Y$都是正态随机变量，它们的线性组合$X-Y$也服从正态分布。设$Z = X - Y$，则$Z$服从正态分布，其均值和方差可由独立随机变量的性质求得。 计算均值： $$E(Z) = E(X - Y) = E(X) - E(Y) = \mu - \mu = 0.$$ 计算方差：由于$X$与$Y$独立，有 $$\operatorname{Var}(Z) = \operatorname{Var}(X - Y) = \operatorname{Var}(X) + \operatorname{Var}(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2.$$ 因此，$Z = X - Y$服从均值为0、方差为$2\sigma^2$的正态分布，即 $$Z \sim N(0, 2\sigma^2).$$ 这一结论是后续步骤的基础，例如用于计算概率$P\{|X-Y| < \sigma\}$或构造统计量等。

已知随机变量$X$和$Y$相互独立，且均服从正态分布$N(\mu, \sigma^2)$。由正态分布的性质，$X$与$Y$的线性组合仍服从正态分布。考虑随机变量$X-Y$，其期望为$E(X-Y)=E(X)-E(Y)=\mu-\mu=0$，方差为$D(X-Y)=D(X)+D(Y)=\sigma^2+\sigma^2=2\sigma^2$（因为$X$与$Y$独立，协方差为零）。因此$X-Y\sim N(0, 2\sigma^2)$。 为了将其转化为标准正态分布$N(0,1)$，我们需要对$X-Y$进行标准化处理。标准化的一般方法是：若随机变量$W\sim N(\mu_W, \sigma_W^2)$，则令$Z=\frac{W-\mu_W}{\sigma_W}$，则$Z\sim N(0,1)$。 这里$W=X-Y$，其均值$\mu_W=0$，标准差$\sigma_W=\sqrt{2\sigma^2}=\sqrt{2}\sigma$。因此标准化后的随机变量为： $$Z = \frac{(X-Y)-0}{\sqrt{2}\sigma} = \frac{X-Y}{\sqrt{2}\sigma}$$ 于是$Z$服从标准正态分布$N(0,1)$，其概率密度函数为$\varphi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}$，分布函数记为$\Phi(z)$。 这一标准化步骤是后续计算概率$P\{|X-Y|<\sigma\}$的关键，因为原事件$\{|X-Y|<\sigma\}$等价于$\{|Z|<\frac{1}{\sqrt{2}}\}$，从而可以利用标准正态分布函数直接求出概率值。

已知随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且均服从正态分布 $N(0, \sigma^2)$。令 $Z = X - Y$，则 $Z$ 也服从正态分布，且期望 $E(Z) = E(X) - E(Y) = 0 - 0 = 0$，方差 $D(Z) = D(X) + D(Y) = \sigma^2 + \sigma^2 = 2\sigma^2$（因为 $X$ 与 $Y$ 独立，差的方差等于方差之和）。因此 $Z \sim N(0, 2\sigma^2)$。 我们需要计算概率 $P\{|X-Y| < 1\} = P\{|Z| < 1\}$。对 $Z$ 进行标准化处理：令 $U = \frac{Z - 0}{\sqrt{2\sigma^2}} = \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma}$，则 $U \sim N(0,1)$ 为标准正态分布。 于是 $P\{|Z| < 1\} = P\left\{ \left| \frac{Z}{\sqrt{2}\sigma} \right| < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\} = P\left\{ |U| < \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right\}$。 对于标准正态分布，有性质：$P\{|U| < a\} = \Phi(a) - \Phi(-a) = \Phi(a) - (1 - \Phi(a)) = 2\Phi(a) - 1$，其中 $\Phi(\cdot)$ 是标准正态分布的累积分布函数。 因此，$P\{|X-Y| < 1\} = 2\Phi\left( \frac{1}{\sqrt{2}\sigma} \right) - 1$。 至此，我们将原始概率成功转化为标准正态分布函数 $\Phi$ 的表达式，为下一步求解参数 $\sigma$ 或进一步计算做好了准备。

由前一步得到的表达式可知，概率 $P\{|X-\mu|<\sigma\}$ 的最终形式为 $2\Phi(1)-1$，其中 $\Phi(\cdot)$ 为标准正态分布的分布函数。该表达式中完全不含参数 $\mu$，因此概率与均值 $\mu$ 无关。同时，表达式中也不含参数 $\sigma$，因为 $\sigma$ 在标准化过程中被约去，所以概率与方差 $\sigma^2$ 也无关。实际上，对于任何正态分布 $N(\mu,\sigma^2)$，事件 $\{|X-\mu|<\sigma\}$ 的概率都是一个常数，即 $2\Phi(1)-1 \approx 0.6827$。因此，该概率既不依赖于 $\mu$，也不依赖于 $\sigma^2$。对照选项：(A) 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 无关；(B) 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 有关；(C) 与 $\mu$ 有关，与 $\sigma^2$ 无关；(D) 与 $\mu$ 无关，与 $\sigma^2$ 有关。显然，正确选项为 (A)。