2019年考研数学一第9题

已知函数 $z = f(\sin y - \sin x) + xy$，其中 $f$ 是可微函数。我们需要求 $z$ 关于 $x$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$。 首先，将 $z$ 视为两项之和：$z = f(\sin y - \sin x) + xy$。根据偏导数的线性性质，有 $$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\left[f(\sin y - \sin x)\right] + \frac{\partial}{\partial x}(xy).$$ 第一项是复合函数。令中间变量 $u = \sin y - \sin x$，则 $f(u)$ 对 $x$ 的偏导由链式法则给出： $$\frac{\partial}{\partial x}f(u) = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial x}.$$ 计算 $\frac{\partial u}{\partial x}$：由于 $u = \sin y - \sin x$，且 $y$ 视为常数（求偏导时），故 $$\frac{\partial u}{\partial x} = 0 - \cos x = -\cos x.$$ 因此第一项为 $f'(\sin y - \sin x) \cdot (-\cos x)$。 第二项 $xy$ 对 $x$ 求偏导，将 $y$ 视为常数，得 $y$。 综上， $$\frac{\partial z}{\partial x} = f'(\sin y - \sin x) \cdot (-\cos x) + y = y - \cos x \cdot f'(\sin y - \sin x).$$

已知函数 $z = f(\sin y - \sin x) + xy$，其中 $f$ 是可微函数。本步骤的目标是求 $z$ 关于 $y$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial y}$。 将 $z$ 视为两项之和：$z = f(\sin y - \sin x) + xy$。对 $y$ 求偏导时，将 $x$ 视为常数。 第一项 $f(\sin y - \sin x)$ 是复合函数。令中间变量 $u = \sin y - \sin x$，则 $f(u)$ 对 $y$ 的偏导数为： $$ \frac{\partial}{\partial y} f(u) = f'(u) \cdot \frac{\partial u}{\partial y} = f'(\sin y - \sin x) \cdot \cos y. $$ 第二项 $xy$ 对 $y$ 求偏导，将 $x$ 视为常数，得： $$ \frac{\partial}{\partial y} (xy) = x. $$ 因此，$z$ 关于 $y$ 的偏导数为： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = f'(\sin y - \sin x) \cdot \cos y + x. $$ 注意：这里 $f'$ 表示 $f$ 对其自变量（即 $\sin y - \sin x$）的导数。

由前两步已求得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\cos x}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin x \sin z}, \quad \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\cos y}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin y \sin z}. $$ 现在需要代入目标表达式： $$ \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} + \frac{1}{\cos y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y}. $$ 首先代入第一项： $$ \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{1}{\cos x} \cdot \frac{\cos x}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin x \sin z} = \frac{1}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin x \sin z}. $$ 再代入第二项： $$ \frac{1}{\cos y} \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{\cos y} \cdot \frac{\cos y}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin y \sin z} = \frac{1}{\cos z} \cdot \frac{1}{1 + \sin y \sin z}. $$ 因此，原式等于： $$ \frac{1}{\cos z} \left( \frac{1}{1 + \sin x \sin z} + \frac{1}{1 + \sin y \sin z} \right). $$ 将两项通分合并： $$ \frac{1}{\cos z} \cdot \frac{(1 + \sin y \sin z) + (1 + \sin x \sin z)}{(1 + \sin x \sin z)(1 + \sin y \sin z)} = \frac{1}{\cos z} \cdot \frac{2 + \sin z (\sin x + \sin y)}{(1 + \sin x \sin z)(1 + \sin y \sin z)}. $$ 至此，代入完成，得到化简后的表达式。

本步骤的目标是对上一步得到的表达式进行化简，并消去含有$f'$的项。上一步得到的表达式为： $$ \frac{-\cos x \cdot f'}{\cos x} + \frac{y}{\cos x} + \frac{\cos y \cdot f'}{\cos y} + \frac{x}{\cos y} $$ 首先，化简第一项：$\frac{-\cos x \cdot f'}{\cos x} = -f'$，因为分子分母的$\cos x$约去。 第三项：$\frac{\cos y \cdot f'}{\cos y} = f'$，同样约去$\cos y$。 于是原式变为： $$ -f' + f' + \frac{y}{\cos x} + \frac{x}{\cos y} $$ 注意，$-f'$与$f'$互为相反数，相加得$0$，因此这两项完全消去。 最终化简结果为： $$ \frac{y}{\cos x} + \frac{x}{\cos y} $$ 至此，原方程中所有含有未知函数$f$的导数$f'$的项均已消去，得到了一个不含$f'$的简单表达式。该表达式即为所求的最终结果。 验证：将原方程代入后，经过前三步的求导、代入和整理，得到本步的中间表达式，再经过本步化简，确认$f'$项完全抵消，结果正确。